Calculo Integra

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS - UAI

[ Aplicaciones de la Integral y estudio de Series ]
Cálculo Integral 01-2011
Juan José Ruiz-Clavijo, Matías Terreros, Pablo Herrmann y Klaus Wanner16/06/2011

[El siguiente documento presenta dos aplicaciones de la Integral referidas a áreas y volúmenes. Además se estudia el comportamiento de una serie, se estima una cota superior y se analiza cómovaría a partir de cierto “n”. Cabe mencionar que los gráficos adjuntos se han realizado con el software MAPLE]

APLICACIONES DE VOLÚMENES
“Un tronco de 10 M de largo se corta a intervalos de 1M.En la tabla que se adjunta aparece una lista de áreas A de sus secciones transversales a una distancia x del extremo del tronco”. Se pide estimar el volúmen del tronco aplicando la “regla del puntoMedio” para n=5. x(m) 0 1 2 3 4 5 A( ) 0.68 0.65 0.64 0.61 0.59 0.58 x(m) 6 7 8 9 10 A( ) 0.53 0.55 0.52 0.50 0.48

Solución: =V

V=

APLICACIONES DE VOLÚMENES II
“Sea la región limitada por , y= 0 y, x = b, donde b > 0. Sea , x = 0, ” la región delimitada por a) Supongamos, para diferenciar, que b=3, con b > 0

b)

en torno al eje Y en torno al eje x

en torno al eje y en torno aleje x

c) = =

=

=

Sí, para cuando b sea igual a d) = = Sí, para cualquier valor que pueda tomar b el volumen será el mismo. e)

ESTUDIO DE LA
SERIE
3a) Para comprobar la convergencia dela serie dada, usaremos el método de la integral, por lo que se debe corroborar que se den las siguientes condiciones: que la función sea positiva, continua y decreciente. Para esto definamos lassiguientes funciones: ; analizar es f(x). ; Donde an = , por lo que la función que debemos

i) Como g(x) y h(x) son positivas y continuas para todo x que pertenece al intervalo [1, infinito), entoncesf(x) es positiva y continua en dicho intervalo. ii) Para mostrar que f(x) es decreciente, debemos ver que su derivada es negativa.

Como

, entonces sabemos que

es creciente.

Sabiendo eso,...