CALCULO INTEGRAL 1 1




I.TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO

1.1 MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS
Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deformes", y su principal finalidad esencontrar en una grafica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa.
Ejemplos:



1.2 NOTACIÓN SUMATORIA O SIGMA
Notación sigma.
En la sección anterior hemos estudiado la antiderivación. En esta sección investigaremos un problema referente al cálculo del área de una región en el plano. A primera vista, parece que esos dosconceptos no tengan relación alguna. No obstante, descubriremos que están íntimamente ligados por el importantísimo teorema fundamental del Cálculo.
Empezamos introduciendo una notación concisa para las sumas, que se denomina notación sigma debido a que utiliza la letra griega Σ, la sigma mayúscula.

NOTACIÓN SIGMA.
La suma de n términos se escribedonde i es el índice de suma, ai es el i-ésimo término de la suma, y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n.

Nota: Los límites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por que ser 1. Cualquier entero menor o igual que el límite superior es lícito.

Las siguientes propiedades se deducenusando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

1.
2.
El próximo teorema, cuya demostración se proporcionan a continuación, resume varias fórmulas útiles de suma de potencias.

TEOREMA 2. FORMULAS DE SUMA.
1. 2.
3. 4.

Demostración de las fórmulas 1 y 2.DEMOSTRACIÓN:
n ∑c = c + c + … + c (n términos) i = 1
= cn

DEMOSTRACIÓN
n∑ i = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n i = 1

n∑ i = n + (n – 1) + (n + 2) + … + 2 + 1 i = 1
si estas dos ecuaciones se suman término a término, el lado izquierdo es
n2∑ i zi = 1
y el lado derecho hay n términos, cada uno de los cuales tiene el valor (n + 1). En consecuencia
n2∑ i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … zzi = 1
+ (n + 1) n términos = n(n + 1)
Por lo tanto,
n...