Calculo Integral Apuntes


INCREMENTO DE UNA FUNCION
En cálculo diferencial se vio que uno de los objetivos principales del cálculo infinitesimal es estudiar como varia una función cuando el valor de su variable independiente cambia.
Si es la variable independiente de la función y su valor cambia de a , el aumento (o la disminución) respectivo se llama incremento de y se simboliza con (delta equis).Así tenemos que:

Cuando la variable independiente de experimenta un incremento , generalmente la función también sufre un aumento (o una disminución) de valor, y ese cambio se denomina incremento de la función y se representa con (delta ye). En este caso:

Como , al despejar obtenemos . Al sustituir este valor de en la ecuación anterior obtenemos:

Es muyimportante precisar que aquí usamos la palabra incremento para referirnos tanto a un aumento como a una disminución.
EJEMPLO
1. A partir de la función , determina:
a) El incremento de en el intervalo que va de a .
b) El incremento de la función en que va de a .
c) El incremento de la función en el intervalo que va de a .
d) El incremento de la función si y .DIFERENCIALES
En cálculo diferencial se define la derivada de una función respecto a como la expresión:

Hasta ahora hemos utilizado la expresión como un símbolo para representar la derivada de respecto a . Ahora definiremos el concepto de diferencial de manera que y tengan significado por separado. Ello nos permite considerar la expresión como larazón de a .
DIFERENCIAL
Si es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a , entonces la diferencial de , simbolizada con , es cualquier número real diferente de cero, el cual coincide con su incremento de ; o sea .
Por otra parte la diferencial de , representada con , se define en términos de por medio de la ecuación:

Así, la diferencial es lavariable dependiente, cuyo valor depende de y .Si al diferencial se le da un valor especifico y toma un valor real dentro del dominio de , entonces queda determinado el valor numérico de .
En la definición de la diferencial , la diferencial de , o sea, puede tomar cualquier valor diferente de cero. Sin embargo en la mayoría de las aplicaciones de las diferenciales seescoge pequeño y se simboliza tal elección mediante .
FORMULAS DE DIFERENCIACION
Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada formula de derivación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferenciación.
En las formulas y son funciones de , es una constante yun numero natural.
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EJERCICIOS.
1. Determina la diferencial de la función



2. Determina la diferencial de la función




3. Determina la diferencial de la función






4. Determina la diferencial y el incremento de la función, para y .







INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DIFERENCIAL
El significado geométrico de las diferenciales se muestra en la siguiente figura, observa que el cambio correspondiente en es:


R

Q

P
SE F


Como se ve en la figura, la pendiente de la recta tangente es la derivada . Así, la distancia dirigida del punto al punto es . Por consiguiente, representa la cantidad que se eleva o...