Calculo- Integral Definida

Definición de integral definida

Definicion Integral Definida
EL TEMA Definicion Integral Definida 7.- Definición de integral definida
Como has visto, hemos definido la integral como un límite.Vamos a intentar formalizar lo expuesto hasta ahora.
Recuerda que en el apartado anterior hemos definido la norma de una partición.
La

relación entre la norma y el nº de subintervalos quetomemos en una
partición general [a,b] será:
(b-a) / ||∆|| ≤ n
Si la norma tiende a cero, está claro que n (nº de subintervalos en [a,b])
tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtenerun valor exacto de la integral.
El caso contrario no siempre es cierto, es decir, el que haya infinitos subintervalos
no implica necesariamente que la norma tienda a cero. Por ejemplo sea ∆n lapartición
del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera:
Como ves, los subintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños,
cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello noevita
que tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será la norma de la partición ∆n.
Tomemos pues el límite siguiente:
El que exista dicho límite implica que para todo ε > 0,existirá un δ > 0
tal que si:
∆ < δ

entonces se cumple
Intuitivamente ésto quiere decir que:
A medida que hago más pequeña la norma, el valor del sumatorio se aproxima cada vez más al límite L.Ahora estamos en condiciones de dar la definición de Integral definida
Si f(x) está definida en el intervalo [a,b]
(única condición impuesta por Riemann, puesto que ahora la definición deIntegral definida
va a ser mucho más amplia que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva)
Y existe el límite
(tal y como lo hemos definido arriba)
Entonces f(x) es integrable en elintervalo [a,b]
y lo escribimos
A a y b se le llaman límites inferior y superior de integración.
En la práctica, el cálculo de las integrales definidas se basa en el Teorema fundamental del...