calculo integral ejercicios

INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREA BAJO UNA CURVA

CONTENIDO
1. EL OPERADOR SIGMA () 1
2. PROPIEDADES DEL OPERADOR SIGMA 1
Ejercicios 2.1 6
Respuesta de los ejercicios 2.1 6
3. ÁREA BAJO UNA CURVA 7
Ejercicios 3.1 16
Respuesta de los ejercicios 3.1 16
4. LA SUMA DE RIEMANN Y LA INTEGRAL DEFINIDA 26
5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL 18
6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 186.1. INTEGRAL DEFINIDA DEL DIFERENCIAL 18
6.2. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA CONSTANTE 19
6.3. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL 19
6.4. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN 20
6.5. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA SUMA DE FUNCIONES 20
6.6. PROPIEDAD DEL SIGNO 20
6.7. INTEGRAL DEFINIDA EN UN INTERVALO DE UN SOLO PUNTO 21
6.8. PARTICIÓN DE UN INTERVALO 21
6.9. INTEGRACIÓN POR PARTESDE UNA INTEGRAL DEFINIDA 21
Ejercicios 6.1 22
Respuestas de los ejercicios 6.1 26
7. CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA USANDO INTEGRALES DEFINIDAS 26
Ejercicios 7.1 30
Respuestas de los ejercicios 7.1 30


1. EL OPERADOR SIGMA ()
En el cálculo del área bajo una curva y en la definición y comprensión del concepto de la integral definida utilizaremos permanentemente el símbolo sumatoria(). Éste símbolo el lector ya lo ha usado en el estudio de otras áreas de la ciencia, fundamentalmente en la definición de algunas leyes que rigen a la naturaleza de la ciencia. A pesar de que ya ha sido usado el símbolo , es conveniente definir con rigurosidad el uso y las propiedades de dicho símbolo.
DEFINICIÓN DE SUMATORIA: Si m y n son números enteros y m ≤ n, entonces:

El miembro derechode la igualdad es la suma de (n – m + 1) términos tales que, el primero se obtiene al reemplazar k por m en F(k), el segundo se obtiene al reemplazar m + 1 por k en F(k), y así sucesivamente, hasta que el último término se obtiene al reemplazar n por k en F(k).
El número m se le llama límite inferior de la sumatoria y al número n se le llama límite superior de la sumatoria. El símbolo o lavariable k recibe el nombre de índice de la sumatoria.
Ejemplos:
a)
b)

c)


2. PROPIEDADES DEL OPERADOR SIGMA
Las siguientes propiedades del operador Sigma son útiles en el cálculo de ciertas sumas y son fácilmente demostrables.
PROPIEDAD Nº 1. Si C es una constante, entonces:

Demostración:


Ejemplos:

a)
b)
PROPIEDAD Nº 2. Si C es una constante, entonces:Demostración:

Factorizando C, se obtiene:

Agrupando los términos F en una sumatoria, se obtiene:

Ejemplos:

a)
b)

PROPIEDAD Nº 3. La sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias, es decir:

Demostración:

Ordenando los términos y agrupando bajo un signo de sumatoria, se tiene:


Ejemplos:
a)
b)
PROPIEDAD Nº 4. Cambio de los límites de unasumatoria


Demostración: Efectuando la expansión de las dos sumatorias, se observa que se obtienen sumas idénticas:

Ejemplos:
a)
b)
PROPIEDAD Nº 5. La sumatoria Telescópica:

Demostración: realizando la expansión de la sumatoria y cancelando los términos iguales de signo contrario, se obtiene:


Ejemplos:
a)
b)
PROPIEDAD Nº 6. Suma de los n primeros números naturalesDemostración: Usando la propiedad Nº 5 se puede demostrar la validez de esta propiedad de la siguiente forma:

Desarrollando la potencia y agrupando términos en el primer miembro, se tiene:






Queda demostrada la propiedad
Ejemplos:
a)
b)

PROPIEDAD Nº 7. Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales

Demostración: Usando la propiedad Nº 5 sepuede demostrar la validez de esta propiedad de la siguiente forma:

Desarrollando la potencia y agrupando términos en el primer miembro, se tiene:







Queda demostrada la propiedad
Ejemplos:
a)
b)

PROPIEDAD Nº 8. Suma de los cubos de los n primeros números naturales

Demostración: Usando la propiedad Nº 5 se puede demostrar la validez de esta...