calculo integral III

Colegio de Bachilleres del Estado de Michoacán
Organismo Público Descentralizado

S. E. A. LA PIEDAD.             
Cálculo Integral. Módulo III 
 
[El estudiante: Aplicará el teorema fundamental del
cálculo, mediante la resolución de problemas de áreas,
volúmenes, sólidos de revolución o longitudes de arco,
superficies de revolución, movimiento rectilíneo,
trabajo mecánico, presiónhidrostática y centro de masa
de una varilla; a partir del conocimiento de las
propiedades de la integral.]
 
Asesor: Gustavo Castro Moreno 
01/02/2008 
 

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CÁLCULO INTEGRAL
UNIDAD III
ENCUADRE:
La Unidad 1, correspondiente al eje del teorema fundamental del cálculo y las propiedades de la
integral, contemplan las etapas de exploración, deducción yaplicación, mismas que darán un soporte
metodológico al programa, ya que con el estudio de estos temas se pretende que el estudiante explore,
observe patrones de comportamiento, conjeture y comience a argumentar sus conclusiones.

3.1. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y SUS APLICACIONES
Si tenemos una función continua
que sea continua en el intervalo cerrado
calcular el área (figurasiguiente) de la siguiente manera:

,

, se puede

y

f(x)

A
a

b

x

|
Donde
es cualquier primitiva de
(en otras palabras: es el valor que se obtiene de integrar la
función original
sin la constante " " de integración). Los otros elementos ya son conocidos, a excepción
de " " y " ", que representan los límites de integración y que no son otra cosa que los valores de en ordencreciente que permiten limitar el área (ver figura anterior).
Aunque pudiera parecer notorio, es conveniente aclarar que para poder calcular
se requiere
resolver una integral. Para ello podemos hacer uso de todos los procedimientos vistos anteriormente (desde
las fórmulas más elementales hasta técnicas de integración).
Debemos recordar que la parte más importante es elegir la técnica necesaria yadecuada para resolver
cada integral. El teorema fundamental del cálculo se aplica hasta que hemos determinado la integral
indefinida.

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Algunas condiciones se establecen en este proceso, por ejemplo, desaparece la constante arbitraria de
integración; si intercambiamos los límites del intervalo de integración (también llamados límites de
integración), laintegral se vuelve negativa; si
está por debajo del eje , la integral es negativa,
etcétera.
•

INTEGRACIÓN APROXIMADA: REGLA TRAPECIAL Y REGLA DE SIMPSON

Como se menciona en el mismo título, este proceso da una idea cercana a lo que es una superficie, pero
se ve superado ampliamente por la integral definidaEstos métodos son similares y se emplean procesos como las sumatorias de Riemann.Es importante recordar que estos métodos dan un valor que no es exacto, por lo que resulta más
productivo profundizar en los conceptos que se generan por el Teorema Fundamental del Cálculo.
Ejemplo: Calcular la integral definida:
12

45

20 dx

Solución: Primero resolvemos la integral, aplicando las fórmulas elementales:

12

45

20

4

12
3

45
2

20

Notamos que noaparece la constante de integración. En las integrales definidas la
constante no es necesaria, pero sí se colocan los límites de integración que deberá sustituirse
al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, para lo cual primero sustituimos el límite
superior 6 en la función simplificada y luego le restamos la misma integral evaluada al
sustituir el límite inferior 2 .

4
 
6
4

12 63

 

45 6
2
324

846

12
3

45
2

20

6                          
12 2
3

2
4

20 6
810

 

120

390

4

32

 

2

45 2
2
90

20 2

40

102

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288
Este valor, sí corresponde a un área, entonces será:
288 
Si la integral indica una superficie (área), se agregan unidades cuadradas
,
,  
 

En caso de...