Calculo integral unidad 4






Calculo integral
Indice







Introducción
El cálculo de integrales indefinidas es una práctica constante no solo en asignaturas de Matemáticas que debe cursar un alumno de Ingeniería sino que, además, aparece frecuentemente en el estudio de otras materias, generales como la Física, o más específicas como cualquier Tecnología.
Así, por ejemplo, es imposible manejar laIntegración Múltiple o la resolución de Ecuaciones diferenciales ordinarias sin un amplio bagaje en la determinación de primitivas. Asimismo, son variados los problemas como determinación de Centros de Gravedad o Momentos de inercia, Trabajo realizado por una fuerza, etc..., donde es imprescindible la utilización del cálculo integral.
Definiremos el concepto de función primitiva, resaltando lacircunstancia de la existencia de infinitas primitivas de una función dada que se diferencian en una constante. Aprovechando las reglas de derivación construiremos un cuadro de integrales inmediatas para su utilización por el alumno.


1. Definición de Integral Indefinida

Definición
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x)que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integralindefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.
La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.
C es la constante deintegración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.




1.2 Función primitiva. Integral indefinida.
Se dice que la función es una primitiva de en un intervalo , si , En este caso, se cumplirá también que por lo que si es primitiva de tambiénlo será
Al conjunto de las infinitas primitivas de , le llamaremos integral indefinida de , y escribiremos en forma simbólica .

2. Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a laconstante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

3. Calculo de integrales indefinidas
El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración. Esto también significa que la solución de la integración indefinidanunca es un número, sino una función del integrando dado.
La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es

Aquí el valor de n no debe ser igual a -1
Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variabledada.
Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.
Otro método básico de la integración es,

Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración como salida con la constante dada como su coeficiente.
Existe nalgunas fórmulas de...