Calculo Integral Unidad 5

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA
Subdirección Académica

Departamentos de Sistemas Computacionales
Enero-Junio 2012
Ingeniería en Sistemas Computacionales

Nombre de la Materia:
Calculo Diferencial

Serie o Grupo: 1SC1B

Nombre del Maestro:
Castillo Díaz JesúsAntonio

Unidad 5
La Derivada

Subtema:
Apuntes

Nombre del Alumno y Número de Control:
Bermúdez García Marina Elizabeth – 12210357

Tijuana, B.C., a 5 de Junio del 2012

UNIDAD 5
Aplicaciones de la Derivada
En esta unidad Las derivadas primera y segunda de una función f pueden usarse para determinar la forma de sugráfica. Si imagina la gráfica de una función como una curva que sube y baja, entonces los puntos alto y bajo de la gráfica o, con más precisión, los valores máximo y mínimo de la función, podemos encontrarlos usando la derivada. Como ya vimos, la derivada también proporciona una razón de cambio.
5.1 Movimiento rectilíneo.

Introducción. En la sección 4.1 se definió que el movimiento de un objeto enuna línea recta, horizontal o vertical, es un movimiento rectilíneo. Una función s = s(t) que proporciona la coordenada del objeto sobre una recta horizontal o vertical se denomina función posición. La variable t representa el tiempo y el valor de la función s(t) representa una distancia dirigida, que se mide en centímetros, metros, pies, millas, etc., a partir de un punto de referencia x=0 sobrela recta. Recuerde que sobre una escala horizontal, consideramos la dirección s positiva a la derecha de s=0, y sobre una escala vertical, la dirección s positiva la consideramos hacia arriba.
Ejemplo 1.Posición de una partícula en movimiento.
Una partícula se mueve sobre una recta horizontal según la función posición s(t) = -t2 + 4t + 3, donde s se mide en centímetros y t en segundos. ¿Cuál esla posición de la partícula a 0, 2 y 6 segundos?
Solución. Al sustituir en la función posición obtenemos

x (0) = 3, s(2) = 7, s(6) = -9

s(6) = -9 < 0 significa que la posición de la partícula esta a la izquierda del punto de referencia s=0.

Velocidad y aceleración. Si la velocidad media de un cuerpo en movimiento sobre un intervalo de tiempo de longitud ∆t es

cambio enposicion= cambio en tiempo st+ ∆t- s(t)∆t
Entonces la razón de cambio instantánea, o velocidad del cuerpo, está dada por
v(t)=lim∆t 0st+ ∆t- s(t)∆t
Así tenemos la siguiente definición.
Definición 5.1.1 Función velocidad.
Si s(t) es una función posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces su función velocidad v(t) en el instante t es
v(t)=dsdt
La rapidez del objeto en el instantet es |v (t)|.
La velocidad se mide en centímetros por segundo (cm/s), metros por segundos (m/s), pies por segundo (pie/s), kilómetros por hora (km/h), millas por hora (mi/h), etc. También es posible calcular la razón de cambio de la velocidad.
La unidades típicas para medir la aceleración son metros por segundo por segundo (m/s2), etc.
Significado de los signos algebraicos. La derivada de unafunción f es positiva sobre un intervalo I, entonces f es creciente sobre I. Geométricamente la grafica de una función creciente sube cuando x crece. En forma semejante, si la derivada de una función f es negativa sobre I, entonces f es decreciente, lo cual significa que su grafica baja cuando x crece. Sobre un intervalo de tiempo para el cual v (t) = s´ (t) > 0, es posible afirmar que s (t)es creciente. Por lo tanto, el objeto se mueve hacia la derecha sobre una recta horizontal, o hacia arriba sobre una recta vertical. Por otra parte, v (t)= s´(t)<0 implica que s(t) es decreciente y que el movimiento es hacia la izquierda sobre una recta horizontal o hacia abajo sobre una recta vertical.

. Ejemplo 2. Otro repaso al ejemplo 1.

En el ejemplo 1 las funciones velocidad y...