calculo integral vectorial

DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES
 
Estudiaremos la derivada de una función vectorial y se establecerán algunas reglas para la derivación de sumas y productos de funciones vectoriales.P(u) => P(u) es una funcion vectorial de la variable escalar u, es decir, el escalar u define por completo el módulo, dirección y sentido del vector .
Si representamos el vector P en un eje de cartesianas, seva a representar siempre con un mismo origen O, haciendo variar el escalar u, y el extremo de P describirá una curva en el espacio.

Dividiendo ambos miembros por Au, y haciendo tender a cero Au,obtenemos la derivada de la funcion vectorial P(u).

 
 Suma de dos funciones vectoriales
Sean P(u) y Q(u), dos funciones vectoriales de la misma variable escalar u, la derivada de la funcion P + Qes:

 
Cómo el límite de una suma es igual a la suma de los límites de los sumandos:


 
 Producto de una función escalar f(u) y de una función vectorial P(u) de la misma variable escalar u.
Laderivada del vector fP es:
 

 
Teniendo en cuenta las propiedades de los límites de sumas y productos, la derivada del vector fP es:
 

 
 
Producto escalar de dos funciones vectoriales 
Producto vectorial de dos funciones vectoriales

 
Componentes rectangulares de la derivada de una función vectorial P(u).
Descomponiendo P en sus componentes según tres ejes rectangulares fijosx, y, z, se tiene:

 => Son las componentes rectangulares escalares del vector P.
i, j, k => Son los vectores unitario de los ejes x, y , z.
 
La derivada de P, es igual a la suma de lasderivadas de los sumandos del segundo miembro.

Los vectores unitarios i, j y k, tienen módulo constante ( igual a la unidad ) y direcciones y sentidos fijos de modo que sus derivados son cero.
Teniendoen cuenta que los coeficientes de los vectores unitarios son, por definición, las comoponentes escalares del vector dP/du, se llega a la conclusión de que las componentes rectangulares escalares...