Calculo integral

Fundamentos del C´lculo a

Rub´n Flores Espinoza e Marco Antonio Valencia Arvizu Guillermo D´vila Rasc´n a o Mart´ Gildardo Garc´ Alvarado ın ıa

Proyecto FOMIX CONACYT, Gobierno del Estado Clave: SON-2004-C02-008

Publicado por Editorial GARABATOS Febrero, 2008 ISBN: 970-9920-18-5 Tiraje: 1000 ejemplares

2

Contenido
Presentaci´n o 1 Una historia breve del c´lculo a 1.1 El sigloXVII: Newton y Leibniz . . . . . . . 1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange . . . . . . . 1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass 1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson . . . . . . 2 Los n´ meros reales u 2.1 Expansiones decimales . . . . . . . . . . . 2.2 El Sistema de los N´meros Reales . . . . . u 2.2.1 Operaciones con los n´meros reales u 2.2.2 El orden de los n´meros reales . . u 2.2.3Valor absoluto de un n´mero real . u 2.3 Completez de los n´meros reales . . . . . u 2.4 La Recta Real . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . 7 13 13 15 17 19 21 21 25 26 28 30 33 36 38 41 41 48 49 52 52 53 56 58 61 61 64 66

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. .. .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

3 Variables y funciones 3.1 El concepto de variable y el de funci´n . . . . o 3.1.1 Gr´fica de una funci´n .. . . . . . . . a o 3.2 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . 3.3 Funciones racionales y trigonom´tricas . . . . e 3.3.1 Medici´n de ´ngulos: radianes . . . . o a 3.3.2 Las funciones trigonom´tricas . . . . . e 3.3.3 Las funciones trigonom´tricas inversas e Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4 Fundamentos del C´lculo a 4.1 Sucesiones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Propiedades de las sucesionesconvergentes . . . . . . . . . . 3

4 Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . o 4.3.1 Criterio de convergencia de Cauchy . 4.4 L´ ımite de una funci´n en un punto . . . . . o 4.5 Continuidad de funciones . . . . . . . . . . 4.6 Continuidad en intervalos compactos . . . . Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 73 75 79 81 86 89 89 93 94 97 103 105 106 107 111 113 113 114 117 118 119 121 123 128 138 142 145 145 150 151 151 156 159

5 Medida de la raz´n de cambio: la derivada o 5.1 Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.1.1 Interpretaci´n geom´trica de la derivada .. . . . . o e 5.1.2 Derivada de algunas funciones elementales . . . . . 5.1.3 Reglas b´sicas de la derivaci´n de funciones . . . a o 5.1.4 Derivadas de funciones racionales, trigonom´tricas e y trigonom´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . e 5.2 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Diferencial de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.4 C´lculo derazones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . a Ejercicios y problemas del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . 6 Teorema del valor medio y sus aplicaciones 6.1 Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . 6.3 Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . 6.3.1 Significado del signo de la derivada . . . 6.3.2 La funci´n segunda...