Calculo integral

4 CÁLCULO INTEGRAL

Figura 3: cálculo integral El cálculo del área bajo una curva es un ejemplo clásico del uso del cálculo integral. En esta figura, el área entre la curva y el eje x desde x = ahasta x = b es aproximadamente igual a la suma de un gran número de rectángulos como el dibujado. El área de uno de éstos es f(x) veces h. Cuando h se reduce, los rectángulos son más estrechos y sunúmero crece, con lo que el área total se aproxima cada vez más al área buscada. El cálculo integral es capaz de hallar este valor si se conoce la función, y = f(x), que describe la curva.© MicrosoftCorporation. Reservados todos los derechos.

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada esF′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizarpara la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamadaconstante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f. Por ejemplo, ∫2xdx = x2 + c.

Las reglas básicas de integración de funcionescompuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por unaconstante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x2, y de forma similar ∫xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m ≠ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| esla integral de x-1 = 1/x para cualquier x ≠ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras...