Calculo integral

UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matem´ticas a

´ Optica y Optometr´ ıa Res´menes u Curso 2007-2008

C´lculo de Integral. a
Primitiva de una funci´n. o Se dice que una funci´n F (x) es primitiva de otra funci´n f (x) si verifica que F (x) = f (x). Es evidente o o que una funci´n no tiene una unica primitiva, ya que si F (x) es primitiva de f (x), tambi´n lo es la funci´n o ´ e o G(x) =F (x) + C, para cualquier constante C ∈ R, puesto que f (x) = F (x) = G (x). Es f´cil comprobar que a dos primitivas de una misma funci´n se diferencian en una constante. o Se denomina integral de una funci´n f (x), a cualquiera de sus primitivas, y se denota o f (x)dx Propiedades. 1. 2. 3. (f (x) + g(x))dx = λf (x)dx = λ 0dx = C. xn+1 +C n+1 f (x)dx + g(x)dx.

f (x)dx, para cualquier n´meroreal λ. u

F´rmulas b´sicas de integraci´n o a o kdx = kx + C 1 dx = ln |x| + C x ax ax dx = +C ln a cos xdx = sen x + C cotan xdx = ln | sen x| + C cosec xdx = ln | cosec x − cotan x| + C cosec2 xdx = − cotan x + C dx 1 |x| √ = arcsec +C 2 − a2 a a x x senh xdx = cosh x + C xn dx =

ex dx = ex + C sen xdx = − cos x + C tan xdx = − ln | cos x| + C sec xdx = ln | sec x + tan x| + C √ x dx = arcsen + C a a2 − x2

sec2 xdx = tan x + C cosh xdx = senh x + C

dx 1 x = arctan + C a2 + x2 a a √ √ a2 ln(x + x2 + a2 ) x x2 + a2 dx √ x2 + a2 dx = + + C, = ln(x + 2 2 x2 + a2

x2 + a2 ) + C

Algunos m´todos de integraci´n. e o Cambio de variable.- Este m´todo se basa en la “regla de la cadena”de derivaci´n de funciones compuestas: e o si f y g son dos funciones y F es una primitiva de f yse trata de calcular la integral f (g(x))g (x)dx haciendo el cambio g(x) = t, se tiene que g (x)dx = dt y entonces: f (g(x))g (x)dx = f (t)dt = F (t) + C = F (g(x)) + C.

Integraci´n por partes.- Si tenemos el producto de dos funciones uv y derivamos: o d(uv) = udv + vdu, de donde udv = d(uv) − vdu

e integrando, obtenemos la “f´rmula”de integraci´n por partes: o o udv = uv − vdu.

Setrata pues, de descomponer el integrando f (x)dx como producto de una funci´n u y otra dv que es derivada o de una funci´n v a determinar. Entonces se aplica la f´rmula. Quiz´s conviene tener en cuenta: o o a 1. Debemos saber integrar dv. 2. La integral vdu debe ser “m´s sencilla”que la original. a

P (x) Integrales de funciones racionales.- Se trata de integrar funciones del tipo Q(x) donde P y Qson polinomios. Podemos suponer que el grado de P es menor que el grado de Q, en caso contrario efectuamos la divisi´n de o ambos polinomios con lo que obtendremos una expresi´n del tipo: o

R(x) P (x) = C(x) + , Q(x) Q(x) siendo R(x) el resto de tal divisi´n (y por tanto su grado es menor que el de Q). La integral de C(x) es sencilla o por tratarse de un polinomio y s´lo resta integrar laotra funci´n. o o Toda funci´n racional de este tipo se puede descomponer en fracciones simples de la siguiente forma. o En primer lugar se factoriza el denominador Q(x); por cada factor bin´mico (x−a)n de multiplicidad n, aparecen o las n fracciones siguientes: A1 A2 A3 An + + + ··· + ; 2 3 (x − a) (x − a) (x − a) (x − a)n y por cada factor cuadr´tico (x2 + cx + d)m de multiplicidad m aparecen lasm fracciones siguientes: a M1 x + N1 M2 x + N2 Mm x + Nm + 2 + ··· + 2 2 + cx + d 2 x (x + cx + d) (x + cx + d)m Se trata entonces de establecer la igualdad entre P (x)/Q(x) y la suma de todas las fracciones que aparecen, operar para obtener los numeradores de las fracciones simples. Reducci´n de integrales trigonom´tricas a racionales.-Se hace el cambio de variable siguiente o e tan x 2t 1 − t22dt = t, sen x = ; cos x = ; dx = ; x = 2 arctan t. 2 2 2 1+t 1+t 1 + t2

Integrales de potencias de senos y cosenos.- Se trata de integrales del tipo senm x cosn xdx, procedemos de la siguiente forma: Si n es impar hacemos el cambio sen x = t y utilizamos cos2 x = 1 − sen2 x. Si, por el contrario m es impar hacemos cos x = t y utilizamos sen2 x = 1 − cos2 x. Si ambos son pares podemos hacer...