calculo integral

4.1.1 Definicion de series finitas
Finitas
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central enlos métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales.


La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder  con su derivada , es decir, 
Formalmente, invirtiendo la exponencial,Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de laserie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son


2 Definición de Series infinitas:
Si {an}es una sucesión infinita,entoces:
ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…
se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ se llaman los términos de la serie.
Para hallar las sumas deuna serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:
S1= a1
S2= a1 + a2
S3= a1 + a2 + a3
Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….
Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:
Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :
Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an
Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serieðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos
S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..
Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.
Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales
de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos en sucesiones.
v

Propiedades de las Series Infinitas :
Siðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.
1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B
3. ðoon=1 (an + bn)= A -B
Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)
Supresión de los N primeros términos de una serie:
Para cualquier entero porsitivo N, las series
ðoon=1 an= a1 + a2 + a3 +… yðoon= N+1 an= aN+1 + aN+2 + aN+3 +…..
Son ambas convergentes o ambas divergentes.Si ambas convergen sus sumas difieren por la suma parcial Sn.
Criterio del término n-ésimo para la divergencia:
Si la sucesión {an} no converge a 0, entonces la serie ðan diverge.
Demostración si la serie ðan converge, {an} converge a 0.supongamos que la serie dada converge y que :
ðoon=1 an= lím n-oo Sn = LEntonces como: Sn= Sn-1 + an y lím n-oo Sn = lím n-oo Sn-1 = L
Se sigue que: L= límn-oo Sn= límn-oo (Sn-1 +an) = límn-oo an = L + límn-oo an... 

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
 

 
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
Ejemplos{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras...