Calculo Integral

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Y AGRIMENSURA CATEDRA : CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA-1

(Ultima modificación 9/9/2003)

ESPACIO DE N DIMENSIONES

Un espacio es de n dimensiones, cuando para determinar cada uno de sus puntos hacen falta los valores de n parámetros llamados Coordenadas del Punto y que se representan por X1, X2, ..... Xn
ESPACIO AFIN

Espacio AFIN de ndimensiones es el espacio entre cuyos puntos y los conjuntos de n números reales cualesquiera X1, X2, ..... Xn llamados coordenadas del punto, se puede establecer una correspondencia biunívoca.
ESPACIO METRICO

Es un Espacio AFIN en el cual se introduce la manera de medir la distancia entre dos puntos cualesquiera del mismo.
ESPACIO EUCLIDIANO

Un Espacio es EUCLIDIANO y de dimensión ncuando : 1.- Es AFIN de dimensión n 2.- La distancia entre dos puntos cualesquiera del mismo está definida por :

d

2

=

∑

i= n

(X'

i

- X i)2

i=1

Llamando d (A,B) a la distancia entre los puntos A y B del E2 se verifica que : 1) d (A,B) = 0 A=B 2) d (A,B) = d (B,A) 3) d (A,C) + d (C,B) ≥ d (A,B) El espacio Euclidiano de n dimensiones se simboliza con En
CONJUNTOS PUNTUALESEN E2

Disco abierto de centro A(a,b) y radio "r" Es el conjunto de puntos del E2 tal que : S = {P(x,y) / (x-a) + (y-b) < r } o sea la d (P,A) < r En el caso que sea menor o igual a r se tiene el disco cerrado
1 2 2 2

r b
a

A

Intervalo rectangular abierto Es el conjunto de puntos P(x,y) perteneciente al E tal que S = {P(x,y)/ a < x < b ^ c < y < d }
2

Y d c X

a b En el casode menor o igual se tiene el intervalo rectangular cerrado Entorno circular Entorno circular del punto A(a,b) y radio r es el disco abierto de radio r y centro A(a,b) es decir es el conjunto de puntos del E2 / S = { P(x,y) / (x-a)2 + (y-b)2 < r2 } o sea la d(P,A) < r . Se simboliza con N (A,r) Entorno circular reducido Entorno circular reducido del punto A(a,b) y radio r es el disco abierto deradio r y centro A(a,b) excluyendo el punto A(a,b), es decir es el conjunto de puntos del E2 tal que : S = { P(x,y) / 0 < (x-a)2 + (y-b)2 < r2 } o sea la 0 < d(P,A) < r Se simboliza con N' (A,r) Entorno rectangular Entorno rectangular del punto A(a,b) y semiamplitud "d" es el conjunto de puntos P(x,y) del E2 tales que verifiquen : |x-a| < d |y-b| < d Entorno rectangular reducido Es el mismo que elanterior pero excluyendo el punto A(a,b) es decir es el conjunto de puntos P(x,y) del E2 tales que 0 < |x-a| < d 0 < |y-b| < d CLASIFICACION DE PUNTOS

Punto aislado Un punto de un conjunto se llama aislado cuando hay algún entorno suyo que no contiene otros puntos del conjunto que el mismo. Por ejemplo si llamamos Z al conjunto de los números enteros, el conjunto definido por : S = { P(x,y) / x εZ ^ y ε Z } está formado solamente por puntos aislados Punto de acumulación Un punto pertenezca o no a un conjunto S, se llama punto de acumulación de S, cuando en todo entorno reducido suyo hay puntos del conjunto S. Si definimos a S = { P(x,y) / (x)2 + (y)2 < 1 }

2

Todos los puntos de S son de acumulación y los de la circunferencia (x)2 + (y)2 = 1 también, ya que si bien no pertenecen a Sen todo entorno suyo hay puntos que pertenecen a S Punto interior Un punto perteneciente a un conjunto S se llama "punto interior" de S cuando hay por lo menos un entorno suyo, cuyos puntos todos pertenecen a S. Interior de un conjunto Es el conjunto formado por todos los puntos interiores del conjunto Punto exterior Un punto no perteneciente a un conjunto S se llama "punto exterior" de S cuandohay por lo menos un entorno suyo, cuyos puntos ninguno pertenecen a S Exterior de un conjunto Es el conjunto formado por todos los puntos exteriores del conjunto Punto frontera Un punto pertenezca o no a un conjunto S, se llama frontera de S si no es exterior ni interior a S, es decir, en todo entorno suyo, hay puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a S. Si definimos a S = { P(x,y)...