Calculo Integral

Aplicación del cálculo integral en otras áreas.
Las razones de cambio se presentan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en conocer la razón a la cual una masa incrustrada de roca fundida se enfria por conducción de calor hacia las rocas que lo rodean. Un ingeniero desea conocer la razón a la cual el agua fluye hacia adentro o hacia afuera de un deposito. Un geógrafo urbano se interesaen la razón de cambio de la densidad de la población en una ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo siente interés por la razón de cambio de la presión atmosferia con respecto a la altura. En psicología, quienes se interesan en la teoría del aprendizaje estudian la curva del aprendizaje, la cual presenta en forma de grafica de rendimiento de alguien queaprende una habilidad, como función del tiempo de capacitación.
El tema común en la mayoría de las aplicaciones de calculo integral es el método general siguiente, el cual es similar al que se usa para hallar el area debajo de las curvas. Dividimos una cantidad Q en un gran numero de partes pequeñas, se obtiene una aproximación de cada pequeña parte por una cantidad de la forma f (x_i)Δx y de estemodo tenemos una aproximacionQ mediante una suma de Riemann. Se toma el limite y se expresa Q como una integral seguidamente se evalua.
MEDICINA
Flujo sanguíneo
Cuando consideramos el flujo de la sangre por un vaso sanguíneo, como una vena o una arteria, podemos tomar la forma de este vaso como el de un tubo cilíndrico con un radio R y longitud l:


Debido a la friccion en las paredes deltubo la velocidad v de la sandre es maxina a lo largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia r al eje, hasta que v se vuelve 0 en la pared. La ley de flujo laminar descubiera por el físico francés Poiseuille en 1840, expresa la relación entre v y r. En esta afirma que
V=p/4nl(R^2-r^2)
Donde n es la viscosidad de la sangre y p es la diferencia en la presión entrelos extremos del tubo. Si p y l son constante entonces v es función de r con dominio [0,R].
La razón de promedio de cambio de velocidad cuando nos movemos de r= r1 hacia afuera, hasta r=r2 es
∆V/∆r=(v(r_2 )- v(r_1))/(r_2- r_1 )
Y si hacemos que ∆r  0, obtenemos el gradiente de la velocidad es decir la razón instantánea de cambio de la velocidad con respecto a r:
Gradiente de la velocidad =lim┬(∆r→0)⁡(∆V/∆r)= dv/dr
Al aplicar la ecuación obtenemos que:
dv/dr=P/4ηι (0-2r)= -Pr/2ηι
Para una de las arterias humanas más pequeñas, podemos tomar η=0.027, R=0.008 cm , ι=2 cm y P=4000Dinas⁄〖cm〗^2 lo cual da:

V=4000/4(0.027)2 ( 0.000064- r^2)
≈1.85 x 〖10〗^█(4@ ) (6.4 x 〖10〗^(-5)- r^2)

En r=0.002 cm la sangre fluye a una velocidad de:

υ(0.002)≈1.85 x 〖10〗^4 (64 x 〖10〗^█(-6@ )-4 x〖10〗^█(-6@ ) )
=1.11cm⁄s
La gradiente de velocidad en este punto es:
dv/dr " r=0.002"=-(4000(0.002))/2(0.27)2≈ -74(cm⁄s)/cm

Si cambiamos las unidades de centímetros a micrómetros (1cm=10 000μm). Encontes el radio de la arteria es de 80 μm. La velocidad del eje central es de 11 850 μm/s, la cual disminuye hasta 11 11 110 μm/s a una distasncia de r= 20 μm. El hecho de que dv/dr = -74 (μm/s)/mmsignifica que cuando r = 20 μm , la velocidad disminuye a razón mas o menos de 74 μm/s por cada micrómetro que nos alejemos del centro.
Sabemos entonces que:
V=p/4nl(R^2-r^2)
La cual da la velocidad v de la sangre que fluye por una vena con radio R y longitud l, a una distancia r del eje central, donde P es la diferencia de presión entre los extremos de la vena y n es la viscoidad de lasangre. Ahora, para calcular la razón de flujo de sangre (volumen por unidad de tiempo), consideremos los radios mas pequeños, igualmente espaciados r_(1,) r_(2,)… El area aproximada del anillo con radio interior r_i- 1 y radio exterior r_1es :
(2πr_i ∆r)υ (r_i)= 2πr_i υ(r_i) ∆r
Y el volumen total de la sangre que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo es aproximadamente:...