Calculo Integral

NOTACION SUMATORIA
La letra griega sigma mayúscula (S ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.

N=I5N³=1³+2³+3³+4³+5³=225
N=13N=1+2+4=6
N=351N=13+14+15=20+15+1234(5)=4760
SUMA DE RIEMANN
Se conoce como sumatorias (o sumas) de Riemann en honor al famoso matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866).
F(x)=2X-X² 0,2
ΔX= b-an=2-0n=2n Xͥᵢ=a+(i) (Δx) xᵢ=0 + i (2n)
A=limn→∞i=1nfx. Δx
A=limn→∞i=1n22in-2in² . Δx
A=limn→∞i=1n4in-4i²n² . 2n
A=limn→∞4n i=1ni-4n²i=1ni² . 2n
A=limn→∞2 n²+nn- 46 2n³+3n²+n n2 . 2n
A=limn→∞2n+2-46 (2n+3+ 1n .2n
A=limn→∞2n+2- 8n6-126-46n . 2n
A=limn→∞4nn- 16n6n-46n²
A=4-616
A= 1.33333

f(x) =9 - x² en 0, 3
Δx= b-an=3-0n=3n Δx= 3n
xᵢ= a+ i . Δx xᵢ= 0 + (i) 3nxᵢ=3in

A=limn→∞i=1nfx. Δx
A=limn→∞i=1n9- 3in² . 3n
A=limn→∞i=1n9- 9i²n² .3n
A=limn→∞9 i=1n1- i²n² .3n
A=limn→∞9i=1nn²-i²n² .3n
A=limn→∞27ni=1nn²-i²n²
A=limn→∞27n³i=1nn²-i²
A=limn→∞27n³n²i=1n1-i²
A=limn→∞27n³n²i=1nn- i=1n2n³-3n²+n6
A=limn→∞27n³n³- 2n³-3n²-n6
A=limn→∞271- 2n³-3n²-n6n³
A=limn→∞27-54n³6n³- 81n6n³- 27n6n³
A=limn→∞27-9-13.5n²- 4.5n²
A=27-9=18
f(x)= 2x+1 1,3∆x = b-an=3-1n=2n ∆x = 2n
Xᵢ = a + i. ∆x Xᵢ = 1 + i. 2n Xᵢ = 1 + 2in
i=1nfxi.∆x
i=1nf(1+2in).2n
i=1n21+2in+ 1 .2n
i=1n2+4in+1 .2n
i=1n3+4in . 2n
2ni=1n3+i=1n4in
2n=i=1n3+4ni=1ni
2n3n+4n .n n+12
2n3n+2n+2
2n. 5n+2
limn→∞10+ 4n
A= 10
DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA.
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en loscampos del cálculo y del análisis matemático. La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.
-353x²-3x+4dx
152sinx-cosx
0π5x³+2x+2

TEOREMA DE EXISTENCIA
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puedeafirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica.
abfxdx
366x²-4x+3dx
-31sinx+cosx
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces lassiguientes propiedades son verdaderas:

(3) Si x está definida para x = a entonces     0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces   
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces |
245dx
=56-3
=53
=15
445x² dx
=54²-54²
=516-516
=80- 80
=0
2-14xx-3 dx
=--124x-x-3 dx
=--124xdx--1212xdx=-4-12x2dx-12-12xdx
=-43-1232
=-12-18
=--6
=6

FUNCION PRIMITIVA
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo
F es la función primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F′ = f. También se emplea la palabra antiderivada en un contexto más abstracto.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva def, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

4cosx-3sinxdx
=4(cosx)dx-3(sinx)dx
=4sinx-3-cosx+c
=4sinx+3cosx+c

(10x³-3cotx+sec²x)dx
=10(x³-3)dxcotxdx+(sec²x)dx
=10x⁴4-3cscx+tanx
sinxcos²x dx
=1cosx-sinxcosx dx
=secxtanx dx
=secx+ c
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
El Teorema fundamental del cálculo integral dice que la integral de una función es la inversa de laderivada, es decir, la derivada de la integral de la función es igual a la función.
De este teorema fundamental se puede deducir el segundo teorema fundamental, es decir, la regla de Barrow para calcular integrales definidas como resta de primitivas.

f(x)=x³ [0,2]
=02x³ dx
=x⁴4².°
=2⁴4- 0⁴4
=164- 04
=4-0
=4
F(x)=3x²-x³ [1,3]
133x²-x³dx
=x³3- x⁴4 ³,¹
=3³-1³-3⁴4- 1⁴4
=9-1-274-14...