Calculo integral

Matem´ticas I a

2.3 Listas de ejercicios de C´lculo Integral a

2.3
2.3.1

Listas de ejercicios de C´lculo Integral a
C´lculo de primitivas a

175. Encontrar la expresi´n de las siguientes integrales indefinidas: o a) d) g) j) m) p) tg2 x dx e− sen x cos x dx x(2x + 5)−10 dx √ 1 − x2 dx b) e) h) k) n) q) x(3x2 + 1)4 dx
x 1+x4

c) f)

6x2 +4 x3 +2x+7

dx

dx dx

x(2x + 5)10 dx√x dx x2 −2 √dx x x2 −2

(2x+5)10 x 1+x √ 1+ x

i) l) o) r)

dx dx

√ dx ex −1

ln(2x) x ln(4x)

√ 3 sen x cos2 x dx ln2 x dx

x sen x dx

arctg x dx

176. Encontrar la expresi´n de las siguientes integrales indefinidas: o a) d) g)
dx (x+1)(x2 +x−2)2 dx (x+1)(x2 +x+2)2 dx (x+1)2 (x2 +1)2

b) e) h)

x3 +x (x2 +2)2 x x6 +1

dx

c) f) i)

x4 −6x3 +12x2 +6 x3 −6x2 +12x−8x3 +x−1 (x2 +2)2 2x+1 (x2 +4)3

dx

dx dx

dx dx

x8 (1−x2 )5

177. Encontrar la expresi´n de las siguientes integrales indefinidas: o a) d) g) j) m) cos x cos2 (3x) dx tg3
cos5 x sen3 x x 4

b) e) h) k) n)

cos x cos x dx 2 3 sen5 x dx cos6 (3x) dx
dx cos6 x 3 sen x+2 cos x 2 sen x+3 cos x

c) f) i) l)

tg2 (5x) dx sen3
x 2

+ tg4

x 4

dx

cos5

x 2

dx

dxsen4 x dx
cos2 x sen6 x

(sen x cos x)−2 dx
dx 1+3 cos2 x

dx

dx

o)

dx cos x+2 sen x+3

178. Encontrar la expresi´n de las siguientes integrales indefinidas: o a) d) g) j) m)
dx ex +1 dx sh2 x+ch2 x √ x+1+2 √ (x+1)2 − x+1 √ dx√ x+ 3 x √dx (x−2) 5x−x2 −4

b) e) dx h) k) n)

ch4 x dx cotg4 x dx x
x−1 x+1

c) f) i) l)
−1 2

sh3 x ch x dx
dx th(x)−1 dx √ (2−x) 1−x √ x x2−x−2 √ 2x 3 1+x3

dx

√ dx x x2 +4x−4

dx

x−4 (1 + x2 )

dx

o)

dx

I.T.I. en Electricidad

31

Matem´ticas I a

2.3 Listas de ejercicios de C´lculo Integral a

2.3.2

Integral Definida

179. Comprobar que la funci´n f (x) = k , donde k es constante, es integrable en cualquier intervalo o [a, b] de IR y calcular el valor de la integral. 180. Comprobar que la funci´n f (x) =o 1, si x ∈ [0, 1] es integrable Riemann en [0, 2]. (Utilizar 2, si x ∈ (1, 2] la condici´n de integrabilidad de Riemann.) o

181. Justificar razonadamente la falsedad de las siguientes afirmaciones: a) U (f, P1 ) = 4 para P1 = {0, 1, 3 , 2} y U (f, P2 ) = 5 para P2 = {0, 1 , 1, 3 , 2}. 2 4 2
1 b) L(f, P1 ) = 5 para P1 = {0, 1, 3 , 2} y L(f, P2 ) = 4 para P2 = {0, 4 , 1, 3 , 2}. 2 2

c) TomandoP ∈ P[−1, 1], (i) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 2.
1

(ii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y (iii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y 182. Se sabe que
1 0 2

−1 1 −1

f (x) dx = 2. f (x) dx = 10.
5

f (x) dx = 6,
5

las siguientes integrales: a)

0

f (x) dx = 4 y
2

2

f (x) dx = 1. Hallar el valor de cada una de
5

0

f (x) dx

b)

1

f (x) dx

c)

1

f (x) dx.183. Considerar la gr´fica de la funci´n f (x) = x + 2 en [−1, 1]. Construir, a partir de ella, la funci´n a o o F : [−1, 1] −→ I definida medinate F (x) = R 184. Sea f (x) =
x x −1

f (t) dt.

1, si x ∈ [−2, 0] . Considerar las funciones F1 , F2 : [−2, 3] −→ IR dadas por 2, si x ∈ (0, 3]
x

F1 (x) =

−2

f (t) dt

y

F2 (x) =

0

f (t) dt.

a) Obtener expresiones para F1 y F2. ¿Son continuas en [−2, 3]? b) Estudiar la derivabilidad de F1 y F2 . En los puntos donde admiten derivada, ¿es cierto que F1 (x) = f (x)? ¿y que F2 (x) = f (x)? e c) F1 = F2 , pero ¿en qu´ se diferencian? 0, x, 185. Sean f (x) = ⎪ 2 − x, ⎪ ⎪ ⎩ 0,
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

si si si si

x 0.

=

c) Probar que si n, m ≥ 2, B(n, m) = de ello que B(n, m) = (n−1)!·(m−1)! . (n+m−1)!

(n−1)!·0! . n! n−1 mB(n −

1, m + 1) =

m−1 n B(n

+ 1, m − 1) y deducir

I.T.I. en Electricidad

33

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2.3 Listas de ejercicios de C´lculo Integral a

2.3.3

Aplicaciones de la Integral
a|f (a)| n+1 .

198. Probar que el area encerrado por la curva f (x) = pxn , con x ∈ [0, a], p ∈ IR y n ∈ IN es ´ 199. Hallar el ´rea de la figura limitada por la curva y = x(x − 1)(x − 2) y...