calculo integral

SERIE
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie contérminos  como:
Donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma elvalor de absolutamente todos los números naturales, es decir:

SERIE FINITA
Cuando N es finita, hace referencia a una serie finita.
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término(que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. 

SERIE INFINITA.
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los númerosnaturales.
Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números reales a0, a1, .... , an,... son los coeficientes de la serie.
Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x -x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles:

Series que convergen solamentepara x = 0
Series que convergen para cualquier número real x
Series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros.

SERIE NUMÉRICA

En K es un par de sucesiones (an)n∈N,(Sn)n∈Nrelacionadas por la fórmula Sn = a1+· · ·+an.
Una serie de este tipo se representa abreviadamente mediante X∞
n=1 an.
A an se le llama término general de la serie y a Sn suma n-ésima.
La serienumérica (o simplemente serie) se dice convergente si existe l´ımn
Sn =: S ∈ K y en este caso S recibe el nombre de suma de la serie.
Cuando an ∈ R y l´ımn Sn = ±∞ la serie se dice divergente a ±∞.Analizar el carácter de una serie concreta significa determinar si la serie es convergente o no lo es. Esta cuestión, como fácilmente puede comprenderse, es más sencilla que la determinación (en sucaso) de la suma.


SERIE DE CONVERGENCIA
Las series pueden ser convergentes o divergentes. Una serie convergente tiene las siguientes propiedades:
1) Si el término parcial de la sucesión de la...