Calculo integral
Páginas: 52 (12755 palabras)
Publicado: 30 de noviembre de 2011
CAP´ ITULO VII. ´ INTEGRACION INDEFINIDA
SECCIONES A. Integrales inmediatas. B. Integraci´n por sustituci´n. o o C. Integraci´n por partes. o D. Integraci´n por fracciones simples. o E. Aplicaciones de la integral indefinida. F. Ejercicios propuestos.
267
A. INTEGRALES INMEDIATAS.
Se dice que una funci´n y = F (x) es integral indefinida (tambi´n llamada o e primitiva o antiderivada) deotra funci´n y = f (x) cuando F (x) = f (x). La o notaci´n usual para representar este hecho es la siguiente: o F (x) = f (x)dx.
El t´rmino ”dx”indica que la variable respecto a la cual se est´ integrando e a es ”x”. Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea la funci´n original. Se tratar´ entonces de aplicar las reglas de derivaci´n en o a o sentido inverso,donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentren las propias funciones. Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada funci´n s´lo tiene o o una derivada, tiene infinitas integrales, porque si F (x) = f (x), entonces [F (x) + C] = f (x) para cualquier constante C. Esto se indicar´ escribiendo f (x)dx = F (x) + C. De este modo, todas las a primitivas de una funci´n se obtienensumando una constante arbitraria a o una primitiva particular. Las siguientes propiedades permitir´n descompoa ner integrales en otras m´s sencillas: a i) f (x)dx = f (x) + C. f (x)dx ± g(x)dx.
ii) [f (x) ± g(x)]dx = iii) kf (x)dx = k
f (x)dx, k ∈ R.
De las f´rmulas de derivaci´n se obtiene la siguiente tabla de integrales o o inmediatas, sin m´s que cambiar el orden de las f´rmulas. a o 1)2) 3) 4) 5) 6) 7) xn dx = xn+1 + C si n = −1. n+1
sen xdx = − cos x + C. cos xdx = sen x + C. sec2 xdx = tg x + C. sec x tg xdx = sec x + C. cosec x cotg xdx = − cosec x + C. cosec2 xdx = − cotg x + C. 268
8) 9) 10) 11) 12)
√
1 dx = arc sen x + C. 1 − x2
1 dx = arc tg x + C. 1 + x2 1 √ dx = arcsec x + C. x x2 − 1 1 dx = ln |x| + C. x ax dx =
ax + C. ln a Veremos a continuaci´nalgunos casos de aplicaci´n de las f´rmulas anterioo o o res.
PROBLEMA 7.1.
Resolver la integral
Soluci´n o
(4x3 − 5x2 + 7)dx.
Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otras integrales m´s simples. a I=4 x3 dx − 5 x2 dx + 7 dx.
Aplicando la regla (1) se pueden resolver las integrales que resultan: I= Ten en cuenta que 4x4 5x3 5x3 − + 7x + C = x4 − +7x + C. 4 3 3 dx = x0 dx = x1 /1 + C = x + C.
Aunque se deber´ sumar una constante a cada integral, como esa constante ıa es arbitraria, se a˜ade al resultado final una constante, que ser´ la suma de n ıa cada una de las restantes.
PROBLEMA 7.2.
Resolver
1 dx. x2 269
Soluci´n o
Escribimos 1/x2 como x−2 y tenemos: I= x−2 dx = x−1 1 + C = − + C. −1 x
PROBLEMA 7.3.
ResolverSoluci´n o
√ 3
zdz .
Si escribimos el integrando en forma de potencia: I= z 1/3 dz = 3 z 4/3 + C = z 4/3 + C. 4/3 4
PROBLEMA 7.4.
Resolver
Soluci´n o
√ (1 − x) xdx.
Si separamos en dos integrales, resulta: I= √ xdx − √ x xdx = x1/2 dx − 2 2 x3/2 dx = x3/2 − x5/2 + C. 3 5
PROBLEMA 7.5.
Resolver
√
x−
x 2 +√ 2 x
dx.
270
Soluci´n o Si escribimos elintegrando en forma de potencia, tenemos: I= x1/2 dx − 1 2 xdx + 2 2 1 x−1/2 dx = x3/2 − x2 + 4x1/2 + C. 3 4
PROBLEMA 7.6.
Resolver
Soluci´n o
(3s + 4)2 ds.
Desarrollando la potencia, I = = 9 (9s2 + 24s + 16)ds = 9s2 ds + 24sds + 16ds
s2 s3 + 24 + 16s + C = 3s3 + 12s2 + 16s + C. 3 2
PROBLEMA 7.7.
Resolver
4x3 − 5x2 + 7 dx. x2
Soluci´n o
Si dividimos cada sumando por eldenominador com´n, podemos obtener u una suma de t´rminos y descomponer en suma de integrales: e I = 7 dx = 4 xdx − 5 dx + 7 x2 x2 x−1 7 + C = 2x2 − 5x − + C. = 4 − 5x + 7 2 −1 x 4x − 5 + x−2 dx
271
PROBLEMA 7.8.
Resolver
Soluci´n o
(4x2 + 7)2 x2 dx.
Al desarrollar el cuadrado del binomio 4x2 + 7, multiplicar por x2 y separar la integral en suma de varias, tendremos: I= (16x4 +56x2...
SECCIONES A. Integrales inmediatas. B. Integraci´n por sustituci´n. o o C. Integraci´n por partes. o D. Integraci´n por fracciones simples. o E. Aplicaciones de la integral indefinida. F. Ejercicios propuestos.
267
A. INTEGRALES INMEDIATAS.
Se dice que una funci´n y = F (x) es integral indefinida (tambi´n llamada o e primitiva o antiderivada) deotra funci´n y = f (x) cuando F (x) = f (x). La o notaci´n usual para representar este hecho es la siguiente: o F (x) = f (x)dx.
El t´rmino ”dx”indica que la variable respecto a la cual se est´ integrando e a es ”x”. Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea la funci´n original. Se tratar´ entonces de aplicar las reglas de derivaci´n en o a o sentido inverso,donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentren las propias funciones. Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada funci´n s´lo tiene o o una derivada, tiene infinitas integrales, porque si F (x) = f (x), entonces [F (x) + C] = f (x) para cualquier constante C. Esto se indicar´ escribiendo f (x)dx = F (x) + C. De este modo, todas las a primitivas de una funci´n se obtienensumando una constante arbitraria a o una primitiva particular. Las siguientes propiedades permitir´n descompoa ner integrales en otras m´s sencillas: a i) f (x)dx = f (x) + C. f (x)dx ± g(x)dx.
ii) [f (x) ± g(x)]dx = iii) kf (x)dx = k
f (x)dx, k ∈ R.
De las f´rmulas de derivaci´n se obtiene la siguiente tabla de integrales o o inmediatas, sin m´s que cambiar el orden de las f´rmulas. a o 1)2) 3) 4) 5) 6) 7) xn dx = xn+1 + C si n = −1. n+1
sen xdx = − cos x + C. cos xdx = sen x + C. sec2 xdx = tg x + C. sec x tg xdx = sec x + C. cosec x cotg xdx = − cosec x + C. cosec2 xdx = − cotg x + C. 268
8) 9) 10) 11) 12)
√
1 dx = arc sen x + C. 1 − x2
1 dx = arc tg x + C. 1 + x2 1 √ dx = arcsec x + C. x x2 − 1 1 dx = ln |x| + C. x ax dx =
ax + C. ln a Veremos a continuaci´nalgunos casos de aplicaci´n de las f´rmulas anterioo o o res.
PROBLEMA 7.1.
Resolver la integral
Soluci´n o
(4x3 − 5x2 + 7)dx.
Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otras integrales m´s simples. a I=4 x3 dx − 5 x2 dx + 7 dx.
Aplicando la regla (1) se pueden resolver las integrales que resultan: I= Ten en cuenta que 4x4 5x3 5x3 − + 7x + C = x4 − +7x + C. 4 3 3 dx = x0 dx = x1 /1 + C = x + C.
Aunque se deber´ sumar una constante a cada integral, como esa constante ıa es arbitraria, se a˜ade al resultado final una constante, que ser´ la suma de n ıa cada una de las restantes.
PROBLEMA 7.2.
Resolver
1 dx. x2 269
Soluci´n o
Escribimos 1/x2 como x−2 y tenemos: I= x−2 dx = x−1 1 + C = − + C. −1 x
PROBLEMA 7.3.
ResolverSoluci´n o
√ 3
zdz .
Si escribimos el integrando en forma de potencia: I= z 1/3 dz = 3 z 4/3 + C = z 4/3 + C. 4/3 4
PROBLEMA 7.4.
Resolver
Soluci´n o
√ (1 − x) xdx.
Si separamos en dos integrales, resulta: I= √ xdx − √ x xdx = x1/2 dx − 2 2 x3/2 dx = x3/2 − x5/2 + C. 3 5
PROBLEMA 7.5.
Resolver
√
x−
x 2 +√ 2 x
dx.
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Soluci´n o Si escribimos elintegrando en forma de potencia, tenemos: I= x1/2 dx − 1 2 xdx + 2 2 1 x−1/2 dx = x3/2 − x2 + 4x1/2 + C. 3 4
PROBLEMA 7.6.
Resolver
Soluci´n o
(3s + 4)2 ds.
Desarrollando la potencia, I = = 9 (9s2 + 24s + 16)ds = 9s2 ds + 24sds + 16ds
s2 s3 + 24 + 16s + C = 3s3 + 12s2 + 16s + C. 3 2
PROBLEMA 7.7.
Resolver
4x3 − 5x2 + 7 dx. x2
Soluci´n o
Si dividimos cada sumando por eldenominador com´n, podemos obtener u una suma de t´rminos y descomponer en suma de integrales: e I = 7 dx = 4 xdx − 5 dx + 7 x2 x2 x−1 7 + C = 2x2 − 5x − + C. = 4 − 5x + 7 2 −1 x 4x − 5 + x−2 dx
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PROBLEMA 7.8.
Resolver
Soluci´n o
(4x2 + 7)2 x2 dx.
Al desarrollar el cuadrado del binomio 4x2 + 7, multiplicar por x2 y separar la integral en suma de varias, tendremos: I= (16x4 +56x2...
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