calculo integral

http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm
Potencia de x.
xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n  -1)  
Demostración
1/x dx dx = ln|x|+ C
Demostración #1: Desde la Derivada
Dando :
1. x^m = m x^(m-1)
2. El Teorema Fundamental de Cálculo
m x^(m-1) dx =  x^m dx =x^m + d. (El Teorema Fundamental de Cálculo (d = una constante arbitraria)
x^(m-1) dx = x^m / m + c (Divida ambos lados por m) (c=unaconstante arbitraria, d/m = c)
x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + c (Fije m=n+1, substitución) QED.

Exponente / Logaritmo
ex dx = ex + C  Demostración 
bx dx = bx / ln(b) + C  
Demostración
ln(x) dx = x ln(x) - x + C 
Demostración

e^x dx : Desde la derivada
Dado:  e^x = e^x. Teorema Fundamental de Cálculo
e^x =  e^x
e^x dx = e^x + c (constante C)



b^x : Desde la derivada
Given :  b^x =b^x ln b. Teorema Fundamental de Cálculo.
b^x ln b =  b^x
b^x ln b dx = b^x + c (una constante arbitraria c)
ln b b^x dx = b^x + cb^x dx = b^x / ln(b) + c


1. Prueba
Estrategia : Use integración por partes.
ln (x) dx
set 
  u = ln (x), dv = dx 
entoncesencontramos 
  du = (1 / x) dx, v = x
sustituir
ln (x) dx =   u dv
y el uso de la integración por partes
= Uv -   v du
sustituir u =ln (x), v = x, y du = (1 / x) dx
= Ln (x) x -   x (1 / x) dx 
= ln (x) x -   dx 
= ln (x) x - x + C 
= x ln (x) - x + C. QED