Calculo Integral

INDICE


Introducción
Objetivos
Desarrollo de tema de investigación
Integrales Impropias
Coordenadas Polares
Sucesiones
Series de Potencia
Series de Taylor
Discusiones
Conclusiones
Bibliografía















INTRODUCCIÓN

INTEGRALES IMPROPIAS.
Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales defunciones que no están acotadas en un intervalo.      
Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua [pic]x [pic]a.
Si existe [pic][pic]f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + [pic]), y definimos:        
        [pic]f (x) dx = [pic][pic]f (x) dx        
Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en[a, + [pic]).        
De igual modo, definimos también [pic]f (x) dx = [pic][pic]f (x) dx, y        
[pic]f (x) dx = [pic][pic]f (x) dx + [pic][pic]f (x) dx, si los límites existen.
Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = [pic]con el eje X, a partir de x = 1.        
[pic][pic]dx = [pic][pic][pic]dx = [pic][pic][pic][pic]= [pic][pic][pic]- (- 1)[pic] = 1 u.a.      [pic]




Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe [pic][pic]f (x) dx, definimos:        
        [pic]f (x) dx = [pic][pic]f (x) dx        
Si el límite no existe, diremos que [pic]f (x) dx es divergente.
Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con losejes. La integral indefinida será:        
[pic]ln x dx = [pic][pic]ln x dx = [pic][pic]x ln x - x[pic] = - 1 - [pic][pic][pic]ln[pic][pic] = - 1.
  El recinto tendrá 1 u.a.
[pic]














Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = [pic]entre x = 0 y x = 2.
La función no está acotada en x = 1.        
S = [pic][pic]dx + [pic][pic]dx =[pic][pic][pic]dx + [pic][pic][pic]dx =        
= [pic][pic]- [pic][pic]+ [pic][pic]- [pic][pic]= [pic]([pic] - 1) + [pic](- 1 + [pic]) = [pic].
La integral impropia es divergente.    
[pic]    






















COORDENADAS POLARES
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), ya partir de O, se traza un rayoinicial llamado eje polar, como se muestra en la figura. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares.











___ es positivo cuando se mide en sentido contrario de las agujas del reloj y negativo cuando se mide en sentido de las manecillas
El ángulo asociado con el punto no es único.
Ejemplo:





• Pueden tener valores r negativos.

Relaciónentre coordenadas y cartesianas.

[pic]
Ecuaciones Equivalentes.
[pic]
Gráficas polares especiales
Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar que en forma cartesiana. Por ejemplo, la ecuación polar de un círculo de radio a y centro en el origen es simplemente r= a.







Área en Coordenadas Polares
• Considérese la función dada pordonde es f continua y no negativa en el intervalo dado por . La región limitada por la gráfica f de y las rectas
radiales.






















SUCESIONES

Definición

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).Ejemplo:
an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...



Definición de Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural.
an = an).

Ejemplo:
an = 1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...



Límite finito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = 1/n.
a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 =...