Calculo Integral
Integrales. Aplicaciones del cálculo integral
ex sen x
. Justifica que f es integrable en Œ0; 1 y se verifica la desigualdad
x
1
0 6 0 f .x / d x 6 e 1 .
1. Sea f .x / D
Solución. Como 0 6 sen x 6 x para todo x 2 Œ0; 1, se sigue que 0 6 f .x / 6 ex 6 e para todo
x 20; 1. En consecuencia la función f está acotada y es continua en Œ0; 1 n f0g.Concluimos
que f es integrable en Œ0; 1. Alternativamente, podemos definir f .0/ D 1 con lo que cual resulta
continua en todo el intervalo Œ0; 1. Finalmente, como la integral conserva el orden, tenemos que:
1
0 6 f .x / 6 e
x
8x 2 Œ0; 1 ÷
06
1
f .x / d x 6
0
0
ex d x D e 1
©
2. Sea f una función continua y positiva en Œa; b con
todo x 2 Œa; b .
Solución. Sea x 2Œa; b . Pongamos
b
xf
b
af
D
b
af
x
af
x
af
C
b
a f .x / d x
x
af
b
xf
D 0. Prueba que f .x / D 0 para
. Como f .t / > 0 para todo t 2 Œa; b ,
x
> 0. Deducimos que a f D 0. Como f
>
se verifica que
> 0, por lo que 0 D
es derivable en Œa; b y F 0 .x / D f .x / para todo
es continua en Œa; b , la función F .x / D
x 2 Œa; b . Evidentemente, F 0 esla función nula, luego f .x / D 0 para todo x 2 Œa; b .
x
Alternativamente, la función F .x / D a f .t / dt es derivable con F 0 .x / D f .x / > 0, lo que implica
que F es creciente en Œa; b . Como F .a/ D F .b / D 0, deducimos que F .x / D 0 para todo x 2 Œa; b ,
lo que implica que f es la función nula en Œa; b .
©
3. Justifica las desigualdades:
a/
1
<
6
2
0
dx
1
1
10 C x
5
10 2
1
0
x 9 dx
1
1
nC1
1
<
I c/
< log
0.
Las desigualdades propuestas son todas consecuencia de este resultado.
1
1
1
1
a) Para 0 6 x 6 2 las funciones f .x / D
y g .x / D
son continuas,
10 10 C x
10 C x
12
2
2
positivas y no idénticamente nulas en Œ0; 2, luego 0 f .x / dx > 0 y 0 g .x / dx > 0. Esto prueba
las desigualdades pedidas.
1
11
c) Dado n 2 N , para todo x 2 Œn; n C 1 se tiene que
< < . Razonando com antes, se
nC1
x
n
sigue que:
1
D
nC1
n C1
n
1
dx <
nC1
n C1
n
1
nC1
dx D log
<
x
n
n C1
n
1
1
dx D :
n
n
Lo que prueba la desigualdad del enunciado. Multiplicando por n dicha desigualdad se obtiene:
n
nC1
nC1 n
< n log
D log
< 1:
nC1
n
n
Dpto. de AnálisisMatemático
Universidad de Granada
Ejercicios de Análisis Matemático
2
Por el principio de las sucesiones encajadas, deducimos que log
n
tomando exponenciales, que e D lKm 1 C 1 .
ı
n
n C1
n
n
! 1, lo que implica,
©
4. Calcula los límites de las siguientes sucesiones expresándolas como sumas de Riemann.
1˛ C 2˛ C C n˛
; .˛ > 0/
n˛C1
nC1
nC2
nCn
e / xnD 2
C2
CC 2
n C1
n C4
n C n2
1= n
.2n/!
i / xn D
n!nn
a/ xn D
Solución.
˛
1 Pn
k
a) Tenemos que xn D
que es una suma de Riemann de la función f .x / D x ˛
n k D1 n
para la partición del intervalo Œ0; 1 dada por los puntos xk D k (0 6 k 6 n). Pues, claramente,
n
n
X
se tiene que xn D
f .xk /.xk xk 1 /. Como ˛ > 0, la función f es integrable en Œ0; 1, y
k D1deducimos que:
1
lKm fxn g D
ı
n!1
e) Podemos escribir:
xn D
0
x ˛ dx D
1
:
˛C1
n
n
X nCk
1X
D
n2 C k 2
n
1C k
n
2
k
k D1 1 C
n
k D1
1Cx
que es una suma de Riemann de la función f .x / D 1Cx 2 para la partición del intervalo Œ0; 1 dada
por los puntos xk D
deducimos que:
k
n
(0 6 k 6 n). Como la función f es integrable en Œ0; 1 y .Pn/ D
1
lKm fxn g D
ı
n!1
0
1Cx
dx D
1 C x2
1
0
1
dx C
1 C x2
p
1
D arc tg 1 C log 2 D C log 2:
2
4
1
0
1
n
! 0,
x
dx D
1 C x2
i) Tomando logaritmos tenemos que:
1
1
log..2n/!/ log n!nn D
log n!.n C 1/ .2n/
n log n log n! D
n
n
n
1
1X
nCk
D .log.n C 1/ C log.n C 2/ C C log.2n/ n log n/ D
log
D
n
n
n...
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