Calculo integral

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Optica y Optometr´
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Res´menes
u
Curso 2007-2008

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´ticas
a

C´lculo de Integral.
a
Primitiva de una funci´n.
o
Se dice que una funci´n F (x) es primitiva de otra funci´n f (x) si verifica que F (x) = f (x). Es evidente
o
o
que una funci´n no tiene una unica primitiva, ya que si F (x) es primitiva de f (x), tambi´n lo es la funci´n
o´
e
o
G(x) = F (x) + C, para cualquier constante C ∈ R, puesto que f (x) = F (x) = G (x). Es f´cil comprobar que
a
dos primitivas de una misma funci´n se diferencian en una constante.
o
Se denomina integral de una funci´n f (x), a cualquiera de sus primitivas, y se denota
o
f (x)dx
Propiedades.
1.

(f (x) + g(x))dx =

2.

λf (x)dx = λ

3.

f (x)dx +

g(x)dx.

0dx = C.f (x)dx, para cualquier n´mero real λ.
u

F´rmulas b´sicas de integraci´n
o
a
o
xn dx =

kdx = kx + C
1
dx = ln |x| + C
x
ax
ax dx =
+C
ln a

xn+1
+C
n+1

ex dx = ex + C
sen xdx = − cos x + C

cos xdx = sen x + C

tan xdx = − ln | cos x| + C

cotan xdx = ln | sen x| + C

sec xdx = ln | sec x + tan x| + C

cosec xdx = ln | cosec x − cotan x| + C

√

cosec2 xdx =− cotan x + C

sec2 xdx = tan x + C

1
|x|
dx
√
= arcsec
+C
2 − a2
a
a
x x

cosh xdx = senh x + C

x
dx
= arc sen + C
a
a2 − x2

dx
1
x
= arctan + C
a2 + x2
a
a
√
√
a2 ln(x + x2 + a2 ) x x2 + a2
dx
√
x2 + a2 dx =
+
+ C,
= ln(x +
2
2
x2 + a2

senh xdx = cosh x + C

x2 + a2 ) + C

Algunos m´todos de integraci´n.
e
o
Cambio de variable.- Este m´todose basa en la “regla de la cadena”de derivaci´n de funciones compuestas:
e
o
si f y g son dos funciones y F es una primitiva de f y se trata de calcular la integral
f (g(x))g (x)dx
haciendo el cambio g(x) = t, se tiene que g (x)dx = dt y entonces:
f (g(x))g (x)dx =

f (t)dt = F (t) + C = F (g(x)) + C.

Integraci´n por partes.- Si tenemos el producto de dos funciones uv y derivamos:
od(uv) = udv + vdu,

de donde udv = d(uv) − vdu

e integrando, obtenemos la “f´rmula”de integraci´n por partes:
o
o
udv = uv −

vdu.

Se trata pues, de descomponer el integrando f (x)dx como producto de una funci´n u y otra dv que es derivada
o
de una funci´n v a determinar. Entonces se aplica la f´rmula. Quiz´s conviene tener en cuenta:
o
o
a
1. Debemos saber integrar dv.
2. Laintegral

vdu debe ser “m´s sencilla”que la original.
a

P (x)
Integrales de funciones racionales.- Se trata de integrar funciones del tipo Q(x) donde P y Q son polinomios.
Podemos suponer que el grado de P es menor que el grado de Q, en caso contrario efectuamos la divisi´n de
o
ambos polinomios con lo que obtendremos una expresi´n del tipo:
o

R(x)
P (x)
= C(x) +
,
Q(x)
Q(x)siendo R(x) el resto de tal divisi´n (y por tanto su grado es menor que el de Q). La integral de C(x) es sencilla
o
por tratarse de un polinomio y s´lo resta integrar la otra funci´n.
o
o
Toda funci´n racional de este tipo se puede descomponer en fracciones simples de la siguiente forma.
o
En primer lugar se factoriza el denominador Q(x); por cada factor bin´mico (x−a)n de multiplicidad n,aparecen
o
las n fracciones siguientes:
A1
A2
A3
An
+
+
+ ··· +
;
2
3
(x − a) (x − a)
(x − a)
(x − a)n
y por cada factor cuadr´tico (x2 + cx + d)m de multiplicidad m aparecen las m fracciones siguientes:
a
M1 x + N1
M2 x + N2
Mm x + Nm
+ 2
+ ··· + 2
2 + cx + d
2
x
(x + cx + d)
(x + cx + d)m
Se trata entonces de establecer la igualdad entre P (x)/Q(x) y la suma de todas lasfracciones que aparecen,
operar para obtener los numeradores de las fracciones simples.
Reducci´n de integrales trigonom´tricas a racionales.-Se hace el cambio de variable siguiente
o
e
tan

x
2t
1 − t2
2dt
= t, sen x =
; cos x =
; dx =
; x = 2 arctan t.
2
2
2
1+t
1+t
1 + t2

Integrales de potencias de senos y cosenos.- Se trata de integrales del tipo
senm x cosn xdx,...