Calculo integral

INTEGRACIÓN POR PARTES EN FORMA TABULAR José A. Rangel M. 1 1. Introducción Es conocida la dificultad que encuentra el estudiante al aplicar la fórmula de integración por partes:

∫ u dv

= uv −

∫ v du .

Tal dificultad comienza en la

elección de las funciones u y v. Además, se sabe que hay integrales que no pueden ser resueltas por partes como en

∫e

x

arcsen x dx .

Eneste ensayo, se propone un método práctico (o más bien, sugerencias) basado en las referencias bibliográficas citadas al final.
2. Elección de u y dv

En esta sección, se pretende dar esta elección apoyados en el texto [1]. significado:
I: L: A: T: E:
1

Para

ello, se usa la palabra nemotécnica ILATE citada en dicho texto, con el siguiente

funciones Inversas Trigonométricas; funcionesLogaritmo Neperiano; funciones Algebraicas; funciones Trigonométricas; funciones Exponenciales.

José A. Rangel M. es Licenciado en Matemática de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela (Caracas - Venezuela). Magister Scientae en Matemática de la Facultad de Ciencias Universidad de los Andes (Mérida-Venezuela). Profesor Asociado adscrito al Departamento de Matemática yFísica de la Universidad Nacional Experimental del Táchira. e-mail: rangelmoreno@cantv.net

Integración por partes en forma tabular

Para elegir “u”, se toma la primera función que ocurra de izquierda a derecha en correspondencia con la palabra ILATE. Por ejemplo, en

∫ x sen x dx ,

u = x,

pues es la función algebraica. Con esa elección, dv es el resto, o sea: dv = sen x dx. Tal como seobserva, esta elección apoya la experiencia de lograr que la segunda integral sea fácil de calcular. A fin de esquematizar la fórmula de integración por partes, se usará el siguiente diagrama: u dv

+
u' – v

Las flechas horizontales indicarán las integrales de dichos productos y la flecha oblicua indicará el producto con signo, comenzando por el signo mas (+). Nótese la alternabilidad de lossignos comenzando en la flecha oblicua con más (+). Obsérvese que siguiendo el diagrama anterior, se obtiene la fórmula de integración por partes:

∫ u dv

= uv −

∫ v du

La igualdad anterior admite la siguiente generalización:

∫ u v dx

= u v1 −

∫ u′ v

1

dx = u v 1 − u′ v 2 +

∫u

(2)

v 2 dx =

2

José A. Rangel M.

= u v 1 − u′ v 2 + donde:

+

( −1 ) ∫ u (n ) v n dx ,
n

u ( i + 1) =

d i u dx

y

vi +1 =

∫ v dx
i

Es posible visualizar la fórmula anterior mediante el siguiente diagrama:

u u′ u′′ u (n)

+ – +
( −1 ) n

dv v v1 vn

Claramente, hay tres columnas: la izquierda donde están las derivadas sucesivas de

u, la central indica los productos diagonales con los signos alternados comenzando
con el signo “+” y laderecha

que contiene las sucesivas primitivas (o

antiderivadas) de v.
Ejemplo 1. En la integral

∫ x sen x dx , el diagrama es:
u x
1
+ –

dv
sen x – cos x

Se obtiene: 3

Integración por partes en forma tabular

∫ x sen x dx
3. Distintos Casos:

= − x cos x +

∫ cos x dx =

− x cos x + sen x + C

■

3.1. Integrales de la forma:

∫

pn ( x)sen ax dx ;

∫pn ( x) cos ax dx ;

∫

pn ( x) e ax dx .

donde pn(x) es un polinomio de grado n. Usando la palabra “ILATE”, se hace u =

pn(x) en todas estas integrales, pues es la función algebraica. La derivada (n+1)ésima de u es 0. En este caso, debajo de la columna de u, se colocarán las derivadas sucesivas de u hasta llegar a 0. En la columna de dv, se escribirán las integrales sucesivas de v.Ejemplo 2. Tomando el ejemplo 1, se tiene que:
u x 1 0
+ – +

dv sen x – cos x – sen x

Así:

∫

x sen x dx = − x cos x + sen x −

∫ 0 sen x dx

= − x cos x + sen x + C

Nótese que los signos para los productos diagonales son siempre alternados comenzando por el signo “+”.
4

■

José A. Rangel M.

3.2. Integrales de la forma:

∫e

ax

sen (bx) dx ;

∫e

ax

cos...