Calculo Integral
Páginas: 7 (1638 palabras)
Publicado: 24 de octubre de 2012
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.
La recta numerica
Los números pueden representarse como puntos de una recta graduada. Esta forma gráfica facilita la comparación y la resolución de las operaciones. Por ejemplo, los mayores siempre están a la derecha y, para restar,podemos desplazarnos hacia la izquierda sobre la recta.
Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:
-Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.
- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a laderecha del 1, etcétera.
- Para ubicar los números enteros negativos, utilizas la misma unidad pero la ubicas hacia la izquierda del 0.
-Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo:
En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los númerosracionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales(trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con elrigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente lanecesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
La siguiente tabla resume laspropiedades de los números reales:
Elemento identidad | Suma: a + 0 = 0 + a = a | Producto: a . 1 = 1 . a = a |
Elemento inverso | Suma: a + (–a) = –a + a = 0 | Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a0 |
Ley Asociativa | Suma: a + (b + c) = (a + b) + c | Producto: a . (b . c) = (a . b) . c |
Ley Conmutativa | Suma: a + b = b + a | Producto: a . b = b . a |
Ley Distributiva | Producto sobrela suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac |
EJEMPLOS: |
Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.
A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.
B) (x + y) z = xz + yz. Respuesta: ley distributiva.
C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.
En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntosordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí.
ea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.
En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones: * x < y * y < x * x = y |
La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros,racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro....
La recta numerica
Los números pueden representarse como puntos de una recta graduada. Esta forma gráfica facilita la comparación y la resolución de las operaciones. Por ejemplo, los mayores siempre están a la derecha y, para restar,podemos desplazarnos hacia la izquierda sobre la recta.
Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:
-Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.
- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a laderecha del 1, etcétera.
- Para ubicar los números enteros negativos, utilizas la misma unidad pero la ubicas hacia la izquierda del 0.
-Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo:
En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los númerosracionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales(trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con elrigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente lanecesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
La siguiente tabla resume laspropiedades de los números reales:
Elemento identidad | Suma: a + 0 = 0 + a = a | Producto: a . 1 = 1 . a = a |
Elemento inverso | Suma: a + (–a) = –a + a = 0 | Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a0 |
Ley Asociativa | Suma: a + (b + c) = (a + b) + c | Producto: a . (b . c) = (a . b) . c |
Ley Conmutativa | Suma: a + b = b + a | Producto: a . b = b . a |
Ley Distributiva | Producto sobrela suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac |
EJEMPLOS: |
Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.
A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.
B) (x + y) z = xz + yz. Respuesta: ley distributiva.
C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.
En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntosordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí.
ea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.
En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones: * x < y * y < x * x = y |
La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros,racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro....
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