Calculo integral

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Capítulo 1
Integral
indefinida

Módulo 1
Función primitiva o antiderivada
Módulo 2
Integral indefinida

La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma
altura, independientemente de su peso.

En este capítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que el
estudiante empiece a conocer lentamente el proceso uoperación de «integración»,
mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y la
operación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación».
En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos ser
más cautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nos
permitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva oantiderivada de un gran número de funciones.
Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la función
primitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambio
de variable, quizás el método de integración más importante, ya que en cualquiera
de los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicha
regla.
Al finalizarel capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera aplicación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física.

Módulo 3
Regla de sustitución o cambio de
variable
Módulo 4
Algunas aplicaciones de la integral indefinida
Ejercicios
Módulos 1 al 4

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Función primitiva o antiderivada
Contenidos del módulo
1.1 Función primitiva oantiderivada
1.2 Teorema 1
Gabrielle Émile le Tournelle de Breteuil

Objetivos del módulo
1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o
antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones.

Preguntas básicas
1. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que la función

f ( x) =

x3
x 2 + 25

tiene las siguientes primitivas:

Émile leTournelle, conocida como la
marquesa de Châtelet, estudió a Newton y
Leibniz, tradujo al francés los Principia de
Newton y contribuyó a divulgar los conceptos del cálculo diferencial e integral.
Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749,
no respondía al prototipo de belleza de su
época pues ya de niña era muy alta (1,65
m) y tenía las manos y los pies grandes. Tal
vez por esto su padre,pensando que no
iba a casarse, se preocupó de que recibiese
una excelente educación. Sin embargo, a
los diecinueve años se casó con el marqués
de Châtelet y suspendió temporalmente sus
estudios, pero los reanudó a los veintisiete
años, después del nacimiento de su tercer
hijo.
En los salones de su residencia, en vez de
frivolizar con conversaciones intrascendentes, Émile y sus invitadosdeliberaban con
ardor sobre problemas matemáticos. A
tanto llegó su pasión por esta actividad
académica que mandó que le confeccionaran unas ropas de hombre, y con sus
piernas enfundadas en calzas y calzones
logró entrar vitoreada por sus colegas en
el café Gradot de París, en donde se reunían
matemáticos y científicos y al cual se le había
prohibido la entrada por ser mujer.

1
F1 ( x) = ( x2 + 25)3 2 − 25( x 2 + 25)1 2 + C ,
3
2
F2 ( x) = x 2 ( x 2 + 25)1 2 − ( x 2 + 25)3 2 + C.
3

Demuestre que F1(x) = F2(x).

Introducción
En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudiado el siguiente problema: dada una función F(x), hallar su función derivada f (x),
esto es, F ′( x) = f ( x). En este módulo consideraremos el problema inverso: dada laÉmile le Torunelle escribió Las instituciones
de la física, libro que contiene uno de los
capítulos más interesantes sobre cálculo
infinitesimal.

función f (x), se precisa hallar otra función F(x) cuya derivada coincida con f (x).
Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x).

Elementos básicos de cálculo integral y series

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Capítulo 1:...