Calculo Integral

Instituto Tecnológico de Morelia

Ingeniería en Gestión Empresarial

“CÁLCULO INTEGRAL”

TANIA KAREN SANTIAGO MEDINA

N° DE CONTROL: 12120416

PROFESORA: BEATRIZ JUAREZ CAMPOS

Morelia. Mich., Noviembre del 2012

1. ¿CÓMO CALCULAMOS LAS INTEGRALES DEFINIDAS?

SUSTITUCION EN UNA INTEGRAL DEFINIDA
Recordando que algunas veces se usa una sustitución como ayuda para evaluar unintegral indefinida de la forma f f (g(x))g(x)dx. Es necesario tener cuidado al usar un sustitución en una integral definida fbf (g(x))g(x)dx puesto que es posible proceder de dos formas.
* Evaluar la integral indefinida f f (g(x))g(x)dx por media de la sustitución u = g(x) Volver a sustituir u = g(x) en la anti derivada y luego aplicar el teorema fundamental del calculo usando los limites deintegracian originales x=ayx= b.
* En forma alterna, la segunda sustitución puede evitarse al cambiar los limites integración de modo que correspondan at valor de u en x = a y x = b. El último método, que suele ser más rápido, se resume en el siguiente Teorema.
Sea u= g(x) una función cuya derivada es continua sobre el intervalo [a,b], y sea f una función continua sobre el rango de g. Si F' (u)= f (u) y c=g, d= g(b) entonces:






* Ejemplo 1.
Sustitución en una integral definida. Evalué:

Pero u = 2x2 +1
f -V2x2 + 1 x dx (2x2 + 1)3/2 + C

En consecuencia, por el Teorema:

b) Si u = 2x2 + 1, entonces x=0 implica U= 1, mientras que con x = 2 obtenemos u = 9.
Así, por el Teorema:

Cuando la grafica de una función y = f (x) es simétrica con respecto aleje y (función par) o al origen (función impar), entonces la integral definida de f (x) sobre un intervalo simétrico [–a, a], es decir, puede evaluarse por medio de un "atajo".

* REGLA DE LA FUNCION PAR

Si f es una función par integrable sobre [–a, a], entonces:


* REGLA DE LA FUNCION IMPAR

Si f es una función impar integrable sobre [–a, a],entonces:


A continuación se muestran graficas para los resultados de las funciones anteriores:

* Función par:

El valor de la integral definida sobre [-a, 0] es el mismo que el valor sobre [0, a]



* Función impar:
El valor de la integral definida sobre [-a, 0] es lo opuesto que el valor sobre [0, a]Uso de la regla de la función par

Evalué:

El integrando f (x) = x4 -1- x2 es una función polinomial cuyas potencias son todas pares de modo que f necesariamente es una función par. Puesto que el intervalo de integración es el intervalo simétrico [1,1], se concluye que es posible integrar sobre [O, 1] y multiplicar el resultado por 2:

Uso de la regla función imparEvalué:

En este caso f (x) = sin x es una función impar sobre el intervalo simétrico. Así tenemos:

La forma de anti derivada del teorema fundamental del cálculo constituye una herramienta extremadamente importante y poderosa para evaluar integrales definidas. ¿Por qué molestarse con un burdo límite de una suma cuando el valor de j'ab f(x)dx puede encontrarse al calcular en f f(x) dx los dosnúmeros a y b? Esto es cierto hasta cierto punto; no obstante, ya es hora de aprender otro hecho de las matemáticas. Hay funciones continuas para las cuales la anti derivada f (x)dx no puede expresarse en términos de funciones elementales: sumas, productos, cocientes y potencias de funciones polinomiales, trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas y exponenciales. La simple funcióncontinua no tiene anti derivada que sea una función elemental.
La integral se denomina no elemental. Las integrales no elementales son importantes y aparecen en muchas aplicaciones como teoría de probabilidad y óptica. A continuación se presentan algunas integrales no elementales:



2. ¿QUÉ APLICACIONES MÁS USUALES TIENE LA INTEGRAL?

Si f(x) es una función que asume valores...