Calculo Integral

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadascomo formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamentaldel cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Cuando uno llega por primera vez al inicio de este teorema ya a intuido una relación entre el calculo diferencial e integral. Uno creería que no hay relación ya que como el primero es pendiente de la recta tangente y el segundo área bajo la curva. Pero de hecho hay unarelación muy intima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombre del teorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también queel teorema afirma que la derivación y la integración con operaciones mutuamente inversas.
Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos la aproximaciones que se muestran en la figura 1 y la figura 2. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente (Pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de un región bajo una curva,usamos el producto (Área de un rectángulo). Así pues, es su primer paso derivación e integración son operaciones inversas ( División y Multiplicación). El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas.
El Teorema Fundamental del Cálculo
Si es continua en el intervalo cerrado y es unaprimitiva de en , entonces


Demostración Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte
Si es continua en , la función esta definida por:

es continua en

y derivable en:

y

DEMOSTRACIÓN

Si y están en , entonces:


Ecuación 2

y así, cuando ,

suponemos que
,

Dado es continua


Usando elteorema del Valor Extremo dice que hay números, y en , tales que y , en donde y son los valores mínimo y máximo absolutos de en .
De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

es decir,

como , podemos dividir esta desigualdad entre :

Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuación anterior obtendremos:
Ecuación 3

Ahora hacemos que
.
Entonces:
y

.Como y existen entre y , decimos que:

Debido a que f es continua en x, Usando la ecuación 3 y la ley de extremos y medios llegamos a la conclusión de que:
Ecuación 4

Si , podemos decir que es un limite unilateral. Si es diferenciable en , entonces es continua en , modificado para limites unilaterales podemos decir que es continua en
Usando la notación de Leibniz para las...