Calculo Integral


Definición:
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + a_6 lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:


El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y medianteun pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serieinfinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.


Serie finita:
Las series son sucesiones ordenadas de elementos quemantienen una relación entre sí. Finito, por su parte, es aquello que dispone de límite o fin.
Serie finita
Como se puede advertir al analizar estas definiciones, una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin (y, por lo tanto, pueden extenderse o prolongarse indefinidamente).
Si pensamos enuna serie numérica (una serie compuesta por números), podemos encontrar muchos ejemplos de series finitas. Estas series tienen un primer y un último término que ya están definidos.
De este modo, si tomamos una serie numérica formada por los números positivos pares de un solo dígito, encontraremos que se trata de una serie finita cuyos componentes son 2, 4, 6 y 8. La serie es finita ya que elprimer número positivo par es 2 y el último número positivo par de un solo dígito es 8. El resto de los números pares (10, 12, 14…) tienen más de un dígito y, por lo tanto, no corresponden a la serie numérica mencionada.
Las series finitas también pueden ser descendentes. Una serie finita descendente de números positivos múltiplos de 3 que tenga como número más grande al 15 será la siguiente: 15, 12,9, 6 y 3.
En el caso del 0, el número suele prestarse a confusiones. El 0 es considerado como un número par ya que cumple con la condición de paridad: todo número entero que es múltiplo de 2 es par (2 x 0 = 0). En cambio, el 0 no se lo suele calificar como un número positivo, sino que se lo considera como un número neutro. Por eso no forma parte de las series finitas que mencionamos como ejemplos.Serie infinita:
Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto vínculo entre sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece de fin.
Serie infinita
Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado momento.
Podemoscomprender la noción de serie infinita si pensamos en ciertas series numéricas. Tomemos el caso de la serie numérica compuesta por los números múltiplos de 2. Dicha serie es una serie infinita ya que los números múltiplos de 2 son infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…
Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie numérica de números positivos impares menores a 10, en este sentido, es elconjunto que incluye los números 1, 3, 5, 7 y 9. Como se puede advertir, se trata de una serie finita. En cambio, si quisiéramos hacer referencia a la serie de números impares, será una serie infinita: un conjunto con componentes infinitos.
Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo tipo de series numéricas infinitas. Incluso es posible considerar series infinitas descendentes: por...