Calculo Integral

APROXIMACIONES LINEALES
y-y1=m(x-x1)
m=f’(x1)=f’(0)
x1=c
y1=f(c)
y-f(c)=f’(c)(x-c)
y=f(c)+f’(c)(x-c) << Ecuación de la recta tangente
Se le llama aproximaciónpor medio de una recta tangente o aproximación lineal.

Ejemplo
1.-f(x)=x² En el punto (1,1)

x1=1=c
y=f(1)+f’(1)(x-1) << Sustituir c
y=1+2(x-1) Nota: el 2 se obtiene de la derivadade la funciòn original f(x)=x2 y la f’(x)=2x pero està evaluada en 1 entonces 2(1)=2
y=1+2x-2
y=2x-1

Para tabular debemos tomar valores cercanos (decimales) al punto dado.

x | 0.5 | 0.75 | 0.9| 1 | 1.01 | 1.025 | 1.5 |
f(x)=x² | 0.25 | 0.5625 | 0.81 | 1 | 1.020 | 1.0506 | 2.25 |
y=2x-1 | 0 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.02 | 1.05 | 2.00 |

2.-f(x)=1+senx En el punto (0,1)

y=f(c)+f’(c)(x-c)y-f(c)?f’(c)(x-c)
y-f(0)=f’(0)(x-0) Sustituir c
y-1=(1)(x-0) Despejar y
y=1+1(x-0)
y=1+x+0=1+x
f(x)=1+senx
f’(x)=0+senx
f’(x)=0+cosx
f’(x)=cosx
x | -0.5 | -0.1 | -0.01 | 0 | 0.01 | 0.1 |0.5 |
f(x)=1+senx | 0.521 | 0.9002 | 0.9900002 | 1 | 1.0099998 | 1.0998 | 1.479 |
y=1+x | 0.5 | 0.9 | 0.99 | 1 | 1.01 | 1.1 | 1.5 |

3.-f(x)=x² En el punto (2,4)

y-f(c)=f’(c)(x-c)y=f(c)+f’(c)(x-c)
y=f(2)+f’(2)(x-2) Sustituir c
y=4+4(x-2)
y=4+4x-8 Eliminar parèntesis
y=4x-4

x | 1.9 | 1.99 | 2 | 2.01 |
f(x)=x² | 3.61 | 3.96 | 4 | 4.04 |
y=4x-4 | 3.6 | 3.96 | 4 | 4.04 |DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

EJERCICIOS
FÓRMULAS
dy=f´xdx y=fx+x-f(x)

En los siguientes ejercicios, utilizar lainformación para evaluar y comparar y y dy.

y=12x3 x=2 x=dx=0.1
DATOS | SOLUCIÓN |
f(x)= 12x3f´(x)= 32x2x=2 x=dx=0.1 | dy=f´xdx |y=fx+x-f(x) |
| dy=32x2dxdy=32220.1dy=60.1=0.6 | y=122+0.13-1223y=129.261-4y=4.635-4=0.6305 |

y=2x2-1 x=0 x=dx=-0.1
DATOS | SOLUCIÓN |
f(x)=...