Calculo Integral

27/05/10

indice:
Serie de Taylor………………………………………………………………………..1
Definición Historia……………………………………………………………………………….2,3
Función exponencial y logaritmo natural
Varias variables………………………………………………………………........4,5

Serie de potencias formal…………………………………………………..........6,7

Asignación de un valor a una serie de potencias formal……………………..8

Producto de Cauchy.
Serie finita
Serieinfinita……………………………………………………………………9,10,11

Convergencia y teorema de Mertens
Demostración del teorema de Martens…………………………………………11

Teorema de Cesàro
Serie de potencia………………………………………………………………..12,13

Radio de convergencia…………………………………………………………….13

Radio de convergencia finito puys
Distancia a la singularidad……………………………………………………..…14

Radio de convergencia infinito………………………………………………..…15introducción

En esta unidad vamos a ver los diferentes tipos de series que en unas es lo mismo que tener f(x) con temas sencillos que ya abras visto al principio del semestre

Serie de Taylor.
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

sin(x) y aproximaciones deTaylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto delteorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término atérmino, que resultan operaciones triviales.
* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir undesarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición.
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compactacomo

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

Historia.
El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojasde Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.[1] Independientemente, Liu Hui utilizóun método similar cientos de años después.[2]
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama.[3] A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos...