Calculo Integral
Páginas: 2 (385 palabras)
Publicado: 6 de marzo de 2013
Ejemplo 2 – Mezclas químicas:
Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicosA y B presentes. La formación requiere 2lb. De A por cada libra de B. Sí 10lb. De A y 20lb. De B están presentes inicialmente, y si 6lb. De C se forman en 20min.
Encontrar la cantidad delquímico C en cualquier tiempo.
Formulación Matemática:
Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. De C,necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. De C es 10 - 2x/3, yla cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto:
dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de lasiguiente manera: dx / dt = k [(15 - x) (60 - x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t =1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial.
La formulación completa es:
dx / dt =k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3
Solución:
La separación de variables produce:
" dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1
Así que:
dx / [(15 - x) (60 - x)] =" 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx= 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]
Así demostramos que esto es igual a:
60 - x / 15 - x = C e
Ya que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4.
Así que:(60 - x) / ( 15 - x ) = 4 e
Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e) ³t = 4(3/2)³t o x = 15 [1 - (2/3)³t]
1 - (1/4) (2/3)³t
Cuando t!", x!15lb.
Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicosA y B presentes. La formación requiere 2lb. De A por cada libra de B. Sí 10lb. De A y 20lb. De B están presentes inicialmente, y si 6lb. De C se forman en 20min.
Encontrar la cantidad delquímico C en cualquier tiempo.
Formulación Matemática:
Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. De C,necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. De C es 10 - 2x/3, yla cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto:
dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de lasiguiente manera: dx / dt = k [(15 - x) (60 - x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t =1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial.
La formulación completa es:
dx / dt =k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3
Solución:
La separación de variables produce:
" dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1
Así que:
dx / [(15 - x) (60 - x)] =" 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx= 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]
Así demostramos que esto es igual a:
60 - x / 15 - x = C e
Ya que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4.
Así que:(60 - x) / ( 15 - x ) = 4 e
Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e) ³t = 4(3/2)³t o x = 15 [1 - (2/3)³t]
1 - (1/4) (2/3)³t
Cuando t!", x!15lb.
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