Calculo Integrale: Series

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ZAMORA.

INGENIERIA INDUSTRIAL.

Calculo integral
UNIDAD 4: SERIES
PROFESOR: Pedro Enrique Espinoza Vázquez
Alumno: Javier Romero Martínez
3° semestre GRUPO: "B"

06/12/12 Zamora, Michoacán

Introducción
A través de esta pagina pretendemos exponer de manera breve y concisa el contenido dela unidad 4: Series, de la materia de Calculo Integral, como un proyecto de investigación en equipo del grupo 2B de Calculo Integral del Instituto Tecnologico de Tepic, materia impartida por el Ingeniero Roberto Oramas Bustillos

Índice
Unidad 4: Series
4.1 Definición de Series
4.1.1 Serie Finita 
- ejemplos
4.1.2 Serie Infinita
- ejemplos
4.2 Serie Numérica y Convergencia
4.3 Serie dePotencias 
4.4 Radio de Convergencia
4.5 Serie de Taylor
4.6 Representación de Funciones Mediante Serie de Taylor
- ejemplos

4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor

Definición de Series
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las seriesinfinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1,2,3....
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si  para algún

Serie Finita
Una serie numerica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.
2, 4,6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita
ejemplo
Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}
f(1)= 2x1=2
f(2)= 2x2=4
f(3)= 2x3=6
f(4)= 2x4=8
(2,4,6,8)
f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier numero del intervalo [1, 4]4.1.2 serie Infinita
 Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de límite en el que se consideran sucesiones.
Suponga que asociada a la sucesión
U1, U2, U3,…, Un,…
Se tiene una “suma infinita” denotada por
U1+ U2 + U3 +…+ Un+…
A partir de lasucesión
U1, U1, U3,…, Un,…
Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):
S1=U1
S2=U1+U2
S3=U1+U2+U3
S4=U1+U2´+U3+U
…
Sn=U1+U2+U3+U4+…+Un
L a sucesión (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesión (Sn) es una secesión de sumas parciales llamada serie infinita.

Definición de serie infinita
Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+UnEntonces ( Sn) es una secesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita
Series Numéricas y Convergencias
Carácter de una serie.
* Convergente: Cuando la suma es un número real.
* Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.
* Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.
Suma de una seriegeométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 +.....+ arn-1 + arn + arn+1

suma=a1-a1Rn1-R
* |R| < 1 Serie convergente
* R £ -1 Serie oscilante
* R ³ 1 Serie divergente

Propiedades generales de las series numéricas
* å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
* Si å an es divergente no podemos saber nada.
* Al suprimir añadir o modificar un número finitode términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.
Condición necesaria para la convergencia: Sea : å an
Calculamos : lim n→∞an=k

* Si k = 0 la serie converge o diverge (Continuar el problema)
* Si k ¹ 0 la serie diverge (Fin del problema)

Convergencia de series con solo términos...