Calculo integrales

INTEGRALES
(ANTIDERIVADAS)

Indefinidas-∫
Definidas - ∫ab

Sean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función y a u' como la derivada de u.
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EJEMPLO:
∫5dx= 5∫dx= 5x+c

∫6(x3-10x2+8x-6) dx=3/2x+4-20x5-24x2-36x+c

∫dx/5x=1/5ln(x)+c∫(18x3+30x)dx= 9x4/4+15x2+c

∫(8x3-10)324x2dx=5/24∫u3du
U=8x3-10
Du=24x2dv
5/24(u4/4+c)=5/96(8x3-10)4+c

∫8xdx/9x2+10=
U=9x2+10
Du=18x
8/18∫18xdu/9x2+10=8/18ln(9x2+10)+c

∫dx/x5=x-4/-4+c=1/4x4+c

∫x3dx/8x6=1/8∫dx/x3=1/8(x-2/-2)+c= 1/-16x2+c

∫cos(10x)du=
U=10x
Du=10
=1/10sen(10x)+c

∫sen(8x2+9)7xdx
U=8x2+9
Du=16x
=7/16-cos(8x2+9)+c

∫3e3xdx
=3/5e5x+c

∫[sen(4x)]26cos(4x)dxU=sen4x
Du=4cos4xdx
=1/2[sen(4x)]3+c

∫(x4-3x2+4/x)dx
=1/4x4-3/2x2+lnx+c

∫(2x+1)(x-3)dx
=2x3/3-3x2/2+c

∫(x2-1)/(x-1)dx
U=x2+2
Du=2x=1/6x3-x+c
∫x+1dx=x2+x+c

∫xdx/x+5=
5ln(x+5)+c

∫(a+bx)2dx=
U=a+bx
Du=bdx
1/b∫(a+bx)2dx=1/b((a+bx)3/3)+c=
(a+bx)3/3b+c

∫√x(√a-√x)2dx=
∫(x)1/2(a-2√a*x1/2+x)dx
=(2ax3/2/3)- (√a*x2)+(2/3x3/2)+c

∫8xe9xdx=
U=9x2
Du=18xdx
4/a e4x2+c∫cos(7z)sen(5x)dx
=-cos(5x) cos7z/5+c

∫ln(e9t)dx
=ln e9t9x+c

INTEGRACIÓN POR PARTES

∫udv=uv-∫vdu

1/3∫(3DX)/9X2+16
U2=9X2=u=3x
A2=16=a=4
Du=3dx
=1/12arctan(3x/1)+c

∫x2e2xdx=
U=x2
Dv=e2x
du=2xdx
v=2e2x
=1/2x2e2x-(1/2xe2x+1/2)(1/2e2x)+c
=1/2e2x(x2-x+1/2)+c

∫x2sen(x)dx
U=x2
du=exdx
v=∫cos(x)dx
du=sen(x)
=exsen(x)- ∫exsen(x)dx
=1/2ex(sen(x+1cos(x)))+c

∫x2ln(x)dxU=ln(x)
Du=dx/x
Dv=∫x2dx
V=x3/3
=1/3 x2(ln(x)-1)+c

∫xe-2xdx=
U=x
Du=dx
Dv=-1/2∫e-2x(-2)dx
V=-1/2e-2x
=-1/2e2x(x+1/2)+c

∫ln(x)dx
U=ln
Du=dx/x
Dv=∫xdx
V=x
=xln(x)-x+c

∫arctan(x)dx=
U=tan-1(x)
Du=dx/1+x2
dv=∫dx
v=x
(x)tan-1(x)-x/(1+x)+c

∫sec3(x)dx
U=sec(x)
Du=tan(csc(x))
Dv=∫sec2dx
V=tan(x)
Ln(sec(u)+tan(u))+c

INTEGRACIÓN
POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

A menudoes posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:

Expresión en el integrando | Sustitucióntrigonométrica |
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∫√x2+9(dx)
√x2-32=3tanө
X=3secө
Dx=3tanө secө dө
=3tanө (3tanө secө)dө/3secө
=3(tan3/3)=tan3+c

∫dx/1+(x-1)2
√1+(x-1)=sec ө
X=tan ө
Dx= sec2ө dө
∫sec2ө/secө=∫secө dө
Ln[sec ө + tan ө]+c

CASOS DE INTEGRALES
POR FRACCIONES

CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion racional propia(que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.
Ejemplo:
luego nos queda la siguiente igualdad
o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B

Haciendo un Sistema.
A + B = 0
2A - 2B = 1 , las soluciones son :
Quedando de esta manera:
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b,quefigure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO:
Calcular

Pero: Tendremos

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo:Calcular:

Con lo que se obtiene

de donde

luego los valores a encontrar son.
A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0
CASO 4: Factores cuadráticos Iguales
A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales.
Ejemplo:
Calcular...