Calculo iv

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
También conocido como la REGLA DE BARROW
Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las Matemáticas fue la unión delcálculo diferencial e integral.
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una funciónprimitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
Si f: [a, b] → R es continua, G(x)/ G´(x) = F(x) en [a, b]
abfxdx=Gb-G(a)
Demostración
Sea:
Ax=axf(t)dt
.Tenemos por el primerteorema fundamental del cálculo que:
A´x=Fx=G´(x) ∀xЄ[a, b]
Por lo tanto,
A´x=G´x → Para que dos funciones tengan igual derivada debe suceder que una es la otra mas una constante
∴Ax=Gx+c--------------- (∞)
Evaluando x = a
Aa=aaf(t)dt
Como x esta definida para x = a entonces por propiedad aafxdx=0
∴Aa=0 -------------- (ρ)
Reemplazando (ρ) en (∞)
→0=Ga+c →c=-G(a) -------------- ()Reemplazando () en (∞)
Ax=Ga-G(a)
Como A(x) = axf(t)dt
Tenemos que
axftdt=Gx-G(a)
Y en particular si x = b tenemos que:

L.q.q.d
abftdt=Gb-G(a)

Propiedades de la integral definida
1. Elvalor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un puntointerior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones esigual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Ejemplos
Calcular las siguientes integralesdefinidas aplicando la regla de Barrow.
1. -11(3x3-x2+x-1)dx

Solución:
-11(3x3-x2+x-1)dx=[3x24x33x22-x]
Por la regla de Barrow
34-13+12-1-34+13+12+1=-83

2. 1edxx

Solución:...