Calculo Limites Infinitos

4.1.1 Serie Infinita
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
Son series de la forma S an (x - x0)n; loss números reales a0, a1,....,an,... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an. xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0; solo estudiaremos series depotencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen (que se unen en un punto) solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series queconvergen para algunos valores de x, y divergen (Se separan, Se oponen o actúan de manera opuesta.) Para otros. Esto conduce al siguiente:
Teorema:
Si la serie de potencias S an. xn converge para elvalor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô.


4.1.2 serie Infinita.
En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son losnúmeros enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m-términos de la serie se expresa como:

EJEMPLO 1:
En lasobservaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del número racional  13   es en la realidad, una serie infinita.
310  +310 2 +3103 +k=1∞310k                    
   * SUCESIÓN DESUMAS PARCIALES   
Para cada serie infinita ∑ ak  existe una sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
Sn = a1 + a2 + a3 +… +an
EJEMPLO 2:
Lasucesión de sumas parciales de k=1∞310k  es
S1 = 310
S2 = 310 + 3102
S3 = 310 + 3102 + 3103
Sn =   310 + 3102 + 3103 + 310n
En el ejemplo 2 cuando n es muy grande Sn, dará una buena aproximación a 13  y deesta manera parece razonable escribir 13 =limn→∞k=1n310k =k=1∞310k 
Esto conduce a la definición siguiente:
Se dice que una serie infinita k=1∞ak es converge la sucesión de sumas parciales {Sn};...