Calculo Limites

Límites ( introducción)
Aproximarse
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes
saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!
Usemos por ejemplo esta función:

(x2-1)/(x-1)
Y calculemos su valor para x=1:
(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de
0/0, así que tenemos que encontrar otramanera de hacerlo.
En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
x
0.5
0.9
0.99
0.999
0.9999
0.99999
...

(x2-1)/(x-1)
1.50000
1.90000
1.99000
1.99900
1.99990
1.99999
...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2
Ahora tenemos una situación interesante:



Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
Pero vemos que va a ser 2Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los
matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a
estas situaciones
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al
llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y
más a 2"
En ungráfico queda así:
Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.
Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

Es como subir una colina
y darte cuenta de que el
camino ha
"desaparecido"
mágicamente...
... pero si sólo miras uno
de los dos lados, ¿quién
sabe qué está pasando?
¡Así que tienes que mirar
las dos direcciones para
estar seguro de dónde
"debe deestar"!
Probemos por el otro lado:
x
1.5
1.1
1.01
1.001
1.0001
1.00001

(x2-1)/(x-1)
2.50000
2.10000
2.01000
2.00100
2.00010
2.00001

...

...

También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados
Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

¡En esta función el límite no existe en "a" ... !
No puedes decir cuál es, porque hay dosrespuestas contradictorias:



3.8 por la izquierda, y
1.3 por la derecha

Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como
en el dibujo) para definir los límites laterales:



el límite por la izquierda (-) es 3.8
el límite por la derecha (+) es 1.3

Y el límite ordinario "no existe"

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?
¡Los límites valen también cuando ya sabesel valor al llegar!
Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.
Por ejemplo:

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar
límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito
El infinito es una idea muy especial. Sabemos
que no podemos alcanzarlo, pero podemos
calcular el valor de funciones que tienen al
infinito dentro.
Vamos a empezar con un ejemplointeresante.
Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?
Respuesta: ¡No lo sabemos!
¿Por qué no lo sabemos?
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea.
Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco
problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que
cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
Dehecho 1/∞ es indefinido.
¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no
sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores
de x más y más grandes:
x
1
2
4
10
100
1,000
10,000

1/x
1.00000
0.50000
0.25000
0.10000
0.01000
0.00100
0.00010

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0
Ahora tenemos una situacióninteresante:



No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los
matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a
esto
El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:

En otras palabras: Cuando x va a infinito, 1/x va a 0
Cuando veas "límite",...