Calculo, Limites

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Ciclo Básico
Departamento de Matemática Aplicada

CÁLCULO I
(0251)
GUIA DE
PROBLEMAS
PARCIAL 3

Semestre
3-2010

José Luis Quintero
Diciembre 2010

La derivada de
una función
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LA DERIVADA DE
UNA FUNCIÓN
U.C.V.

F.I.U.C.V.

Prof.
José Luis Quintero

CÁLCULO I (0251) - TEMA 4

1. En los siguientesejercicios, halle

dy
dx

:

1.1.

y = (x5 + x10 )20

1.2.

y = cos(sen(x2 ))

1.3.

y = x π πx

1.4.

y = 3tgh(4x)

1.5.

1

y =  + x5 
x



1.6.


x
x
y = 4

 2x + 1 

1.7.

y=

1.8.

y = arccos(log2 (x 4 + 1))

1.9.

y = esec(log(x

1

7

x2 − x + 1
2 +1))

1.11. y = e

tg(2x −1)

+

1.10. y =

1− x
1+ x

 22x 1.12. y = csc2 
 ln(1 − x) 




sen4 ( 1 )
x

1.13. y = ln(arctg(3x))

1.14. y = (ex − x)arc sec(x)

1.15. y = (sen(x))− cos(x)

1.16. y = arcsen(ln(5 1 − 2x))

−x

 sen(x) 
1.18. y = arctg 

 1 + cos(x) 
1.20. y = arctg(5x) + arcctg(7x)

1.17. y = x3

x
1.19. y = ln(sec2 (arctg( 2 )))

1.21. y = sen2 (ln(x) + x2 + 1)

1.23. y =

5

 2x 
1.22. y= 

 1 − x2 

 x + 1
1.24. y = arccos 

x

cos(x) + sen(x)
cos(x) − sen(x)

 x6 + 7 
1.25. y =  2
x + 9




arctg(x4 )

 1 − x2
1.27. y = arcsen 
 1 + x2


−x


1.26. y =  4 − x3



(

)

2


−  5x +



 1  1 + cos(x) 
 + ln 


 2  1 − cos(x) 

 1 − senh(3x) 
1.28. y = ln(sen(3 arctg(e3x ))) + tg 

1 + cosh(3x) 

 (x + 1)(x + 2) 
1.29. y =  2
 (x + 1)(x2 + 2) 



1.30. y =

3

x2
3

1
x −1)

x.arctg( 1 − sen(x)) + x ln(e

2. Usando la definición calcule la función derivable de:
1
2.2. g(x) = ln(x2 )
2.1. f(x) =
x
2.3. f(x) = sen(x)
2.4. h(x) = 5x2 + 2x − 1

3

4
2


x2  


3

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3. Halle la segunda derivada d2 y dx2 de las siguientes funciones:
3.1. y = 3x2 + x − 4

x
3.2. y = arcsen 

 x + 1
3.3. y = 2 cosh(x)
3.4. y = ln(x2 − 1) , para x =

e −1

3.5. y = cos (x) + tg(x), cuando x = π
2

3.6. y =

x +1
, para x = 0
1−x

4. Calcule la derivada

dydx

de las funciones definidas paramétricamente por:

x = 4 cos(t)
4.1. 
 y = 4sen(t)
x = et cos(t)

4.2. 
para t = 0
t
 y = e sen(t)


3at

x =
1 + t3

4.3. 
2
y = 3at

1 + t3

x = 2 + sec(t)
π
4.4. 
cuando t =
6
y = 1 + 2tg(t)

x = t ln(t)

4.5. 
ln(t) para t = 1
y = t

5. Halle la derivada y ' = dy dx de la función dada implícitamentepor la ecuación:
5.1. x3 + x2 y + y2 = 0
5.2. y2 3x − 3−x = 4y, en el punto de ordenada y = 1.
5.3. x ln(y) − y ln(x) = 1, en el punto (1, e).
5.4. tg(y) = xy
5.5.

x+ y=

a

5.6. yey = ex +1 , cuando (x, y) = (0,1)
5.7. x y = yx
6. ¿Es la función f(x) = x + x − 2 derivable en su dominio?. Justifique su respuesta.

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f
7. Sean: f(0) = 3, f '(0) = −1, f ''(0) = 0, g(0) = 1, g'(0) = 3 y g''(0) = 2. Halle ( g )''(0) .

8. Sean: f '(1) = 3, f ''(1) = −2, g(0) = 1, g '(0) = 3 y g ''(0) = 2. Halle [f(g(0))]''.
9. Sea

 −e2x + 2
si x ≤ 0

f(x) = 
.
ln(x + 1) + 1 si x > 0

9.1. Grafique la función f.
9.2.Determine en forma anal{itica y en forma gráfica si f '(0) existe.
10. Sea


e3x
si x < 0
2

f(x) = ax + bx + c si 0 ≤ x ≤ 1 .

x3
si x > 1


10.1. Determine a, b y c para que f sea continua en x = 0 y derivable en x = 1
10.2. Determine a, b y c para que f sea derivable en x = 0 y continua en x = 1
11. Dada la función:


x3
si x ≤ 1

f(x) = 
,
2
ax + bx + c si x > 1...