Calculo Lineal

MARTÍNEZ CALDERÓN JUAN CARLOS PRESENTA

TERCER SEMESTRE SEMESTRE CALCULO VECTORIAL ASIGNATURA

ING. MARI CARMEN BACA GUTIERREZ CATEDRATICO

INVESTIGACION UNIDAD 4 Y EJEMPLOS TRABAJO

CERRO AZUL, VER; NOVIMBRE DE 2012

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UNIDAD 4 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES.
4.1 Definición de una función de varias variables…………………………………………3 4.2 Gráfica de una función devarias variables…………………………………………….6 4.3 Curvas y superficies de nivel…………………………………………………………..11 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica….......................................................................................................................16 4.5 Derivada direccional………………………………………………………………...…24 4.6 Derivadas parciales de ordensuperior…………………………………………………28 4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena………………………………………..32 4.8 Derivación parcial implícita…………………………………………………………....39 4.9 Gradiente……………………………………………………………………………….41 4.10 Campos vectoriales…...………………………………………………………………44 4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física…………………………..46 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables………………………………...…51BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………….56

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4.1 DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.
La primera parte de esta asignatura se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable, ������:ℝ→ℝ Lo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables. ������:ℝ2→ℝ Estas funciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y). Unafunción de dos variables tiene como dominio parejas de números (así que se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En general, el dominio de una función con n variable (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado. Una función con n variables es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2, . . . , xn) dentro de undeterminado conjunto D un número real f(x1, x2, . . . , xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo:

Cuando queramos indicar la acción de la función sobre un punto, entonces escribiremos:

EJEMPLOS:

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4.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNDE VARIAS VARIABLES.
La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z) tales que ������=������ ������,������ ������ ������∈������. Es decir, ������������������������ ������ = ������,������,������ ������,������ |(������,������)∈������ La grafica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de talforma que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.

Ejemplo 1 Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones

1. 2. Solución Para hallar el dominio de ser positivo o cero : recuerde que elargumento de una raíz cuadrada debe

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Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura 1.

Figura 1: dominio de f(x,y) Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :

Lo cual corresponde al exterior de la parábola muestra en la figura 2., sin incluir la parábola misma, esto se

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Figura 1: dominio de g(x,y) Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable Suma y resta: Producto:

Cociente: La función compuesta dada por variables y se define solamente si es una función de dos

una función de una única variable. En este...