Calculo mecanico de lineas

1. CÁLCULO MECÁNICO DE LÍNEAS
1.1. CÁLCULO DE CONDUCTORES Y CABLES DE TIERRA 1.1.1. Ecuación de un cable tendido entre dos puntos.
Los cables conductores pueden, con buena aproximación, suponerse

perfectamente flexibles, extensibles, elásticos, dilatables y con su peso uniformemente distribuido. La forma que adopta un cable de estas características, sometido a un campo de fuerzas uniforme(constante en módulo y dirección en todo punto del espacio) y suspendido entre dos puntos, es una catenaria. Supongamos un cable suspendido entre dos puntos A y B:

Y B d A Tv x1 V O a
Sea w el peso del cable por unidad de longitud. Sea Tv la tensión mecánica del cable en el punto más bajo V (vértice de la catenaria) y T la tensión en un punto genérico P, cuya dirección coincide con la tangenteen ese punto que forma un ángulo θ con la horizontal. El tramo de cable comprendido entre V y P pesará w.s , siendo s la longitud de dicho tramo. Como el cable se encuentra en perfecto equilibrio, podemos asegurar que Tv=Tx y que w.s=Ty. Por lo tanto:

T θ P Tx w.s x2 X Ty

s

tg θ =

dy T y w. s = = dx T x T v

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Además,

ds 2 = dx 2 + dy 2
2 2 ⎛ ds ⎞ = 1 + ⎛ dy ⎞ = 1 + ⎛ w. s⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎝ Tv ⎠ 2

Entonces,

dx =

ds ⎛ w. s ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ Tv ⎠
2

Integrando la ecuación anterior:

x=∫

ds ⎛ w. s ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ Tv ⎠
2

resulta

x=

w Tv arg senh s + K w Tv

Tomando el origen de abcisas en el vértice V, tenemos que para x=0, s=0, y entonces K=0.

x=

w Tv arg senh s w Tv

y

s=

Tv w. x senh w Tv

Haciendo h=Tv/w , y como

2dy s = dx h x dy = senh dx h
y = h cosh x +K h

Y tomando el origen de ordenadas de forma que yv=h, K=0 y tenemos:

y = h cosh
que es la ecuación de la CATENARIA.

x h

La tensión mecánica en un punto cualquiera valdrá:

T=

Tx ds x = Tv = Tv cosh = w. y cosθ dx h

Es decir, la tensión del cable es en cada punto , igual al peso de un trozo de ese mismo cable de una longitud iguala la coordenada y de dicho punto. Como la coordenada y del vértice V (que es igual a h) tiene habitualmente valores entre 1000 m. y 2000 m., y la diferencia de alturas en un conductor tendido entre dos puntos no superará normalmente valores de 10-20 m., podemos considerar que la tensión del cable es prácticamente constante e igual a Tv en toda la longitud de la catenaria. En el caso genérico quehemos considerado, de vanos desnivelados, y puesto que hemos situado el origen de coordenadas en la vertical del vértice de la catenaria, será necesario calcular los valores x1 y x2. Para ello basta observar que

x2 − x1 = a d = y2 − y1 = h cosh x2 x − h cosh 1 h h

Son dos ecuaciones y dos incógnitas cuya solución es:

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⎤ ⎡ d a ⎥ ⎢ cosh − 1 ⎢argsenh h h ⎥ − arg tanh x1 = h ⎢ a ⎥ 2senh ⎛ cosh a − 1⎞ 2 a ⎢ senh − ⎜ ⎟ h ⎥ ⎥ ⎢ h ⎝ h ⎠ ⎦ ⎣ x 2 = a + x1

La longitud del cable será:

a + x1 x L1− 2 = h⎛ senh − senh 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ h h⎠
Si el vano fuese nivelado, d=0 y entonces x1=-a/2 y x2=a/2, siendo en este caso

L1− 2 = 2 h senh

a 2h

La flecha de un conductor se define como la máxima distancia vertical entre la recta que une los dos puntos extremos y el conductor, y vale:x a f = h cosh ⎛ m ⎞ ⋅ ⎛ cosh − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ h⎠ ⎝ 2h ⎠
siendo

xm =

x2 + x1 2

Y B d f A V M x1 O a xm x2 X

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1.1.2. Sobrecargas.
Conocidas las ecuaciones básicas de un cable tendido entre dos puntos, vamos a aplicarlas en el cálculo mecánico de líneas aéreas. El problema que se pretende abordar se plantea como la necesidad de poder conocer los peores esfuerzos que con ciertaprobabilidad van a tener que soportar los diferentes elementos que constituyen la línea, mientras se mantienen en todo momento determinadas condiciones técnicas y de seguridad. Típicamente, los esfuerzos a tener en cuenta en el cálculo de líneas aéreas son el viento y el hielo. La acción del viento se considera como una presión pv ejercida sobre la sección longitudinal del cable en dirección...