Calculo numerico polinomios de taylor

UNIDAD I: APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO. POLINOMIOS DE TAYLOR

OBJETIVO DIDACTICO: Conocer las diferentes fuentes de errores que suelen aparecer en el proceso de resolución de problemas científicos.


Entender el concepto de ERROR es importante para usar de manera efectiva los métodos numéricos. Estos métodos numéricos son el corazón de la Unidad Curricular CálculoNumérico, ya que la misma gira en torno al aprendizaje de los mismos para la formulación de problemas matemáticos. El análisis numérico estudia cómo un problema es resuelto numéricamente, parte de este proceso es considerar los errores que aparecen en estos cálculos, si son de redondeo o de otra fuente.


Aunque con la técnica numérica se puede obtener una aproximación a la solución exactaanalítica, existe cierta discrepancia o error, debido a que los métodos numéricos son sólo una aproximación. Pocas veces, somos afortunados al disponer de la solución analítica y calcular el error en forma exacta. Pero para muchos problemas de aplicación no se puede obtener una solución analítica, por lo tanto no podremos calcular con exactitud los errores asociados con nuestros métodosnuméricos. En esos casos debemos resolver por aproximación o estimar los errores. Pero ante este panorama vale la pena preguntarse ¿qué nivel de error se presenta en los cálculos y qué tan tolerable es? Para ello es necesario estudiar la información referente a la cuantificación de errores; los errores más comunes: el de redondeo y el de truncamiento, entre otros.


Definiciones de Error:los errores numéricos son aquellos que se generan con el uso de aproximaciones para representar las cantidades y operaciones matemáticas. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos. La primera es el error de truncamiento y la segunda es el error de redondeo. El error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo. Loserrores de redondeo se asocian con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una computadora.


Cifras significativas: Son aquellas que llevan la información real a cerca del tamaño del número aparte de su porción exponencial. Aunque, por lo común, determinar las cifras significativas de un número es un procedimiento sencillo, en algunos casos genera ciertaconfusión. Por ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal.

Ejemplos:
• 8632574 redondeado a (4cs) es 8633000
• 3,1415926 redondeado a (5d) es 3,14159
• 8,5250 redondeado a (2d) es 8,53
• 1,6750 redondeado a (2d) es 1,68
• 4,53 x 104 tiene 3 cifras significativas
• 4,530 x 104 tiene 4 cifrassignificativas
• 4,5300 x 104 tiene 5 cifras significativas

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos:

• Como ya se ha mencionado, los métodos numéricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiable son dichos resultados. Una manera de hacerlo esen términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas.
• Aunque ciertas cantidades como los números irracionales [pic], e, ó [pic]representan cantidades específicas, no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos, las computadoras retienen sólo un númerofinito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión del resto de cifras significativas es lo que hemos llamado error de redondeo.
|Para minimizar el error de redondeo en cifras se utiliza el siguiente proceso: Sea a1, a2, a3, a4, a5, ... an |
|Para redondear a “n” decimales es decir cortar hasta a n:...