calculo numerico

Cálculo Numérico
1.1. Objetivos del cálculo numérico
El cálculo numérico tiene por objetivo la obtención de soluciones numéricas con precisión arbitraria y estimación del error, y mediante algoritmos eficientes, a problemas matemáticos bien planteados y solubles numéricamente. Esta sencilla frase contiene, de forma implícita, una alusión a las principales bestias negras del cálculo numérico,que trataremos en este capítulo. En primer lugar la frase precisión arbitraria contiene una alusión implícita al tipo de aritmética empleado. Los ordenadores utilizan una cantidad de memoria determinada para almacenar los números, lo cual limita de partida la precisión de los cálculos. Si se utilizan los tipos nativos de un lenguaje de programación, es decir las clases de números definidosdirectamente por el compilador o interpretador de dicho lenguaje, la representación de los número está limitada a una veintena de cifras decimales (depende del tamaño de las palabras del procesador, 32 o 64 bits). Sin embargo, llegado el caso, se puede siempre utilizar aritméticas de precisión arbitraria mediante programación, pudiendo realizar los cálculos con miles de cifras decimales si se consideranecesario. Por lo tanto, los algoritmos del cálculo numérico deben de funcionar para cualquier precisión deseada. Por otro lado, el error cometido en los resultados numéricos proporcionados por un algoritmo no es debido únicamente al tipo de aritmética utilizado, sino sobre todo a las
aproximaciones empleadas en la elaboración del algoritmo, por lo cual los algoritmos numéricos deben de proporcionartambién una estimación del error cometido, que debe ser controlable, es decir, deben de existir parámetros del algoritmo que cuando tiendan a un determinado valor, el error del algoritmo tienda a 0. La frase problemas matemáticos bien planteados y solubles numéricamente contiene también una alusión a uno de los principales problemas, la solubilidad numérica. Si se aplica un algoritmo a unproblema que no está bien planteado matemáticamente, conducirá sin lugar a dudas a soluciones erróneas. Pero un problema aparentemente bien planteado desde el punto de vista matemático puede no ser abordable numéricamente. Este es el caso de problemas matemáticos que implican valores infinitos o funciones discontinuas, que no son susceptibles de una representación numérica correcta. Esto conduce alconcepto de calculabilidad, ampliamente estudiado en tiempos recientes. Obviamente, el cálculo numérico sólo puede abordar la solución de problemas calculables, que puedan ser codificados sin ambigüedad mediante programas de ordenador y que puedan ser adecuadamente resueltos con un número finito de operaciones. Finalmente, es frecuente que un mismo problema se pueda resolver de forma correcta pordiferentes algoritmos, con similar precisión. Sin embargo, dos algoritmos distintos, comparables desde el punto de vista de la precisión numérica obtenida, pueden necesitar volúmenes de cálculo muy diferentes. Diremos que el algoritmo que necesita un menor volumen de cálculo es más eficiente. Una de las principales motivaciones del cálculo numérico es el encontrar algoritmos lo más eficientes posible.Cuando se utilizan ordenadores para resolver problemas numéricos, los algoritmos deben de ser programados en un lenguaje de ordenador. Actualmente existen un gran número de lenguajes informáticos que permiten realizar cálculos numéricos. Podríamos haber elegido cualquiera de ellos.

1.2. Representación digital de los números

Un número entero se expresa como una cadena de dígitos: d1d2 . ..dk en una base B. La base B queda fijada por el sistema de numeración utilizado. Los valores de B más frecuentemente empleados son 2 (sistema binario), 8 (octal), 16 (hexadecimal) y 10 (decimal). Los tres primeros sistemas son relevantes para los cálculos realizados con ordenador, mientras que el sistema decimal es el que empleamos ordinariamente los humanos.

En un sistema de numeración de...