calculo numerico

Integraci´n Num´rica
o
e
• Reglas elementales de integraci´n num´rica.
o
e
• Regla del Punto Medio.
• Regla de los Trapecios.
• Regla de Simpson.

C´lculo Num´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

-1-

DMFA – UCSC

Para aproximar una integral de la forma
∫ b
f (x) dx,
a

puede aproximarse el integrando f por el polinomio p ∈ Pn que interpola a f
en (n + 1) puntos x0 , . . . ,xn e integrar el polinomio de interpolaci´n:
o
∫ b
∫ b
f (x) dx ≈
p(x) dx =: In (f ).
a

a

Luego, el valor aproximado de la integral, In (f ), se calcula expl´
ıcitamente.
El error que se comete al aproximar la integral por In (f ) es
∫ b
∫ b
∫ b
f (x) dx −
p(x) dx =
E(x) dx,
Rn (f ) :=
a

a

a

donde E(x) := f (x) − p(x) es el error de interpolaci´n.
o
C´lculoNum´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

-2-

DMFA – UCSC

Si se usa la f´rmula de Lagrange:
o
p(x) =

n
∑

f (xi )ℓi (x),

i=0

para calcular expl´
ıcitamente In (f ), se tiene
(∫
)
∫ b
n
n
b
∑
∑
ℓi (x) dx f (xi ) =
p(x) dx =
In (f ) =
Ai f (xi ),
a

i=0

con

∫

a

i=0

b

Ai =

ℓi (x) dx,

i = 0, . . . , n.

a

Llamaremos:
n
∑
•
o
e
Ai f (xi): regla de integraci´n num´rica o regla de cuadratura.
i=0

• xi : nodos de la regla de integraci´n,
o
• Ai : coeficientes o pesos de la regla de integraci´n.
o
C´lculo Num´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

-3-

DMFA – UCSC

El error de la integraci´n num´rica,
o
e
∫ b
∫
Rn (f ) :=
f (x) dx −
a

b

p(x) dx,
a

puede estimarse a partir de la expresi´n del error deinterpolaci´n:
o
o
(x − x0 ) · · · (x − xn ) (n+1)
E(x) := f (x) − p(x) =
f
(ξx ),
(n + 1)!
para alg´n ξx ∈ (a, b).
u
As´
ı:
∫
Rn (f ) =

∫

b

E(x) dx =
a

a

b

(x − x0 ) · · · (x − xn ) (n+1)
f
(ξx ) dx.
(n + 1)!

C´lculo Num´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

-4-

DMFA – UCSC

a+b
Regla del punto medio (elemental): n = 0, con x0 =
.
2
En este caso, A0 = b− a y se obtiene:
I0 (f ) = (b − a) f (x),

con

a+b
x :=
.
2

Si f ∈ C 2 ([a, b]), el error de integraci´n est´ dado por:
o
a
∫ b
∫ b ′′
f (ξx )
R0 (f ) :=
f (x) dx − I0 (f ) =
(x − x)2 dx.
2
a
a
Llamando M2 := max |f ′′ (x)| y evaluando la integral restante, se obtiene:
x∈[a,b]

|R0 (f )| ≤

C´lculo Num´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

M2
(b − a)3 .
24

-5-DMFA – UCSC

Regla del punto medio (compuesta). El intervalo [a, b] se divide en n
subintervalos iguales:
xi := a + ih,

i = 0, 1, . . . , n,

con

h :=

b−a
.
n

La regla del punto medio compuesta se obtiene aplicando la regla del punto
medio elemental en cada subintervalo [xi−1 , xi ]:
∫ b
n
∑ ∫ xi
f (x) dx =
f (x) dx
a

i=1 xi−1
n
∑

≈ h

f (xi ),

i=1C´lculo Num´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

con

xi−1 + xi
.
xi :=
2

-6-

DMFA – UCSC

La regla del punto medio (compuesta) consiste en aproximar la integral
por:
n
∑
xi−1 + xi
IM (f ) := h
f (xi ),
con xi :=
.
2
i=1
Cuando f ∈ C 2 ([a, b]), para el error
∫
RM (f ) :=

b

f (x) dx − IM (f )
a

se tiene:
M2
(b − a)h2 ,
|RM (f )| ≤
24

con

M2 := max |f ′′(x)|.
x∈[a,b]

En consecuencia, esta regla es exacta para integrar polinomios de grado
menor o igual que uno (P1 ).
C´lculo Num´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

-7-

DMFA – UCSC

Regla del trapecio (elemental): n = 1, con x0 = a
En este caso, A0 = A1 =

b−a
2

y x1 = b.

y se obtiene:

b−a
I1 (f ) =
[f (a) + f (b)] .
2
Si f ∈ C 2 ([a, b]), para el error de integraci´n setiene:
o
∫ b
R1 (f ) :=
f (x) dx − I1 (f )
a

∫
=

a

=

b

f ′′ (ξx )
dx
(x − x0 )(x − x1 )
2

(b − a)3 ′′
−
f (ξ),
12

para alg´n ξ ∈ (a, b).
u

C´lculo Num´rico IN1012C/IN1052C/MAT221N
a
e

-8-

DMFA – UCSC

Regla de los trapecios (compuesta).
El intervalo [a, b] se divide en n subintervalos iguales:
xi := a + ih,

i = 0, 1, . . . , n,

con

h...