Calculo numerico

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA O SPLINES
La construcción de polinomios de interpolación de grado alto aunque justificable teóricamente plantea
muchos problemas. Por un lado, la forma de la función polinómica de grado alto a menudo no responde
al fenómeno debido al gran número de extremos e inflexiones. Por otro lado, su cálculo es muy
complicado, lo quelimita su utilidad en análisis numérico. Es a menudo más conveniente dividir el
intervalo de interés en subintervalos más pequeños y usar en cada subintervalo polinomios de grado
relativamente bajo, tratando de que la función a trozos definida de este modo tenga un aspecto final
adecuado al fenómeno que estamos representando.
La idea central es que en vez de usar un solo polinomio parainterpolar los datos, podemos usar
segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.
Podemos decir, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un
intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.
Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas.

Definición. (Splinesde grado k)
Dada nuestra tabla de datos,

donde suponemos que

x0 < x1 < L < x n , y dado

k

un número entero positivo, una función de

interpolación spline de grado k, para la tabla de datos, es una función S (x ) tal que :

i)

S ( xi ) = y i , para toda i = 0, 1, ..., n .

ii)

S (x ) es un polinomio de grado ≤ k en cada subintervalo [xi −1 , xi ] .

iii)

S (x ) tienederivada continua hasta de orden k − 1 en [x0 , x n ] .

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1
Dados los n + 1 puntos

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos
mediante segmentos de recta, como sigue:

1
Ing. Adriana M. Apaza – JTP Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

Claramente esta función cumple con lascondiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para este
caso:

 s1 ( x ) si
s ( x ) s

s( x) =  2
 M
sn ( x ) si


x ∈ [x0 , x1 ]

x ∈ [x1 , x2 ]

x ∈ [xn −1 , xn ]

donde:
i)

S j (x) es un polinomio de grado menor o igual que 1

ii)

S (x )

tiene derivada continua de orden k-1=0.

iii) S ( x j ) = y j , para j = 0,1,K , n .
Por lo tanto, la spline de grado 1queda definida como:

si
 y0 + f [x1 , x0 ]( x − x0 )
 y + f [x , x ]( x − x )
si

1
2 1
1
s( x ) = 
M

 yn −1 + f [xn , xn −1 ]( x − xn −1 ) si


x ∈ [x0 , x1 ]

x ∈ [x1 , x2 ]
x ∈ [xn −1 , xn ]

donde f [ xi , x j ] es la diferencia dividida de Newton.

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2
Veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos:

procedamos acalcular la interpolación por splines de grado 2.
Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos:

[3, 4.5], [4.5, 7], [7, 9]

En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:

 a1 x 2 + b1 x + c1

s( x ) = a2 x 2 + b2 x + c2
a x2 + b x + c
3
3
 3

si
si
si

x ∈ [3,4.5]

x ∈ [4.5,7 ]
x ∈ [7,9]

Hacemos que la spline pasepor los puntos de la tabla de datos, es decir, se debe cumplir que:

2
Ing. Adriana M. Apaza – JTP Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

s(3) = 2.5,

s (4.5) =1,

s(7) = 2.5,

s(9) = 0.5

Así, se forman las siguientes ecuaciones:

s(3) = 2.5 ⇒ 9a1 + 3b1 + c1 = 2.5
 ( 4.5) 2 a1 + 4.5b1 + c1 = 1
s ( 4.5) = 1 ⇒ 
2
( 4.5) a2 + 4.5b2 + c2 = 1
49 a2 + 7b2+ c2 = 2.5
s ( 7 ) = 2.5 ⇒ 
 49a3 + 7b3 + c3 = 2.5
s (9) = 0.5 ⇒ 81a3 + 9b3 + c3 = 0.5
Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones con 9 incógnitas.
El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado
2, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k-1=1, es decir, primera derivada
continua.
Calculamos primero la...