Calculo Numero Reales

Antes de comenzar a discutir el desarrollo histórico del sistema de números reales es útil considerar lo que es un número. Tal vez el lector podría pensar que esto es una tontería y que es "obvio" lo que es un número. La primera evidencia clara de que esto no es así es el hecho de que el concepto de número ha cambiado enormemente en todo el desarrollo de las matemáticas hasta el día de hoy. Loque es igualmente claro es que no hay ninguna razón, aparte de ser vanidoso, para creer que este concepto de número no va a cambiar en el futuro. Wittgenstein, investigaciones filosóficas escribe:-

¿Por qué lo llamamos algo un "número"? Pues bien, tal vez porque tiene una relación directa con varias cosas que hasta ahora han sido llamados; y esto se puede decir que una relación indirecta con otrascosas que llamamos el mismo nombre. Y extendemos nuestro concepto de número como un hilo en el hilado de fibra que nos toque en fibra. Y a la resistencia de la rosca no reside en el hecho de que algunos tramos de fibra a través de su longitud total, pero en la superposición de muchas fibras. Pero si alguien quiere decir: “Hay algo común a todas estas construcciones”, es decir, la disyunción detodas sus propiedades comunes” - quiero respuesta: “Ahora sólo se está jugando con las palabras. Uno podría decir: Algo pasa por toda la conversación, es decir, la continúa acumulación de esas fibras. “
“Todos los derechos: el concepto de número se define para usted como la suma lógica de estos conceptos interrelacionados entre sí: el cardenal números, números racionales, números reales, etc.; y, dela misma manera el concepto de juego es la suma lógica de un conjunto correspondiente de sub-conceptos”. - No es necesario que sea así. Para que pueda dar el concepto “número” límites rígidos de esta manera, es decir, utilizar el “número” de la palabra para un tipo de cambio rígidamente concepto limitado, pero también puedo usar para que la extensión del concepto no es cerrada por una frontera. Yesta es la forma en que uso la palabra "juego". Para saber cómo es el concepto de un juego limitado?
Debemos comenzar un debate de números reales por los conceptos de magnitud y el número de la Grecia antigua. La primera de estas pueden hacer referencia a la duración de una línea geométrica mientras que el segundo concepto, es decir, se pensó que era integrado por unidades. Pitágoras parece haberconsiderado que "Todo es número", por lo tanto, lo que era un número a Pitágoras? Parece claro que Pitágoras habría pensado de 1, 2, 3, 4,... (Los números naturales en la terminología de hoy) en una forma geométrica, no como longitudes de línea como lo hacemos, sino en la forma de puntos discretos. Suma, resta y multiplicación de números enteros son conceptos naturales con este tipo derepresentación, pero no parece haber habido ningún concepto de la división. Un matemático de este período, dado el número 12, podía ver fácilmente que el 4 es un submúltiplo de, ya que 3 veces 4 es de exactamente 12. Aunque a nosotros este es, obviamente, la misma división, es importante ver la diferencia. Hemos utilizado la palabra "submúltiplo" arriba, por lo tanto debe indicar lo que los pitagóricosconsideraban que se. Nicomachus, siguiendo la tradición de Pitágoras, hace la siguiente definición de un submúltiplo:-
El submúltiplo, que por su naturaleza, está el más pequeño, es el número que cuando se la compara con la mayor puede medir más veces de una manera que la exactamente. Magnitudes, siendo entidades distintas de los números, se tenía que haber una definición por separado y, de hecho,Nicomachus hace un paralelo definición de magnitudes.

La idea de Pitágoras que "todo es número" se explica por Aristóteles en Metafísica:- [ en la época de Pitágoras] debido a que todos los demás las cosas parecían en toda su naturaleza de ser modelada sobre los números, y los números parecen ser las primeras cosas en el conjunto de la naturaleza, que se supone los elementos de los números de los...