calculo optimizar


FUNDACION UNIVERSIDAD DE AMERICA
INTRODUCCION AL ANALISIS MATEMATICO

TALLER Nº 10

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

OBJETIVOS
Al término del presente taller, el estudiante estará en capacidad de:

1. Plantear y resolver las ecuaciones que relacionan los datos de un problema de máximos y mínimos.
2. Aplicar la derivada de una función para la resolución de problemas de optimización.MOTIVACION
Los métodos hasta ahora aprendidos para hallar valores extremos tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar los costos y maximizar las utilidades. Se pueden maximizar áreas y volumenes y minimizar distancias y tiempos.
En la solución de problemas de aplicaciones prácticas, el mayor desafío suele ser convertir el problema dadoen palabras, en un problema matemático de optimización y establecer la función que debe maximizarse o minimizarse. No existen reglas firmes y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, es posible mencionar algunos pasos generales del proceso de solución de problemas y dar algunos principios que puedan resultar útiles en la solución de dichos problemas.


PASOS PARALA SOLUCION DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION:

1. Comprender el problema: El primer paso es leer cuidadosamente el problema, hasta que se entienda con claridad. Formular las preguntas ¿Cuál es la incógnita del problema?, ¿Cuáles son las cantidades conocidas?, ¿Cuáles son las condiciones dadas?
2. Dibujar un diagrama: En la mayor parte de los problemas, resulta útil dibujar un diagrama eidentificar en él las cantidades dadas y las incógnitas.
3. Introducir notación: Asigne un símbolo a la cantidad que se va a optimizar (maximizar o minimizar); así mismo seleccione símbolos para las otras cantidades desconocidas y marque el diagrama con estos símbolos.
4. Escribir la función: Exprese la cantidad que se va a optimizar en términos de algunos de los otros símbolos para lascantidades desconocidas del paso 3.
5. Relacionar las variables: Si en el paso 4, la cantidad que se va a optimizar, se ha expresado como una función de más de una variable, utilice la información dada para hallar relaciones (en forma de ecuaciones), entre estas variables. Enseguida, use estas ecuaciones para eliminar todas las variables, excepto una, en la expresión de la función que se va a optimizar,de suerte que esta última se expresará como función de una variable x, digamos y = f(x). Escriba el dominio de esta función.
6. Derivar: Aplique los métodos correspondientes para hallar el valor máximo o el valor mínimo absolutos de f.


EJERCICIOS RESUELTOS
EJEMPLO 1. Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar alo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande?

Solución: Se desea maximizar el área del rectángulo de longitud x y ancho y (en pies). Ahora, se expresa el área A, en términos de x y de y: A = x.y (1)

Hay que escribir A como una función de una sola variable, eliminando y al expresarla en términos de x. Debido a que la longitud total de la cerca es 2400pies, entonces: 2x + y = 2400, de donde y = 2400 - 2x (2). Al sustituír la expresión (2) en la (1) da: A = x(2400 - 2x) = 2400 - 2 observe que
La función a maximizar es: (3) para . La derivada de (3) es: A´(x) = 2400 - 4x, entonces para hallar los puntos críticos se resuelve la ecuación 2400 - 4x = 0, de lo cual, se obtiene que x = 600. El valor máximo de A debe ocurrir en este punto críticoo en uno de los extremos del intervalo. Como A(0) = 0, A(600) = 720000, A(1200) = 0, entonces el método del intervalo cerrado da el valor máximo A(600) = 720000. También se habría podido emplear el criterio de la segunda derivada para obtener el mismo resultado.

EJEMPLO 2. Un trozo de alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Una parte será doblada en forma de triángulo equilátero y...