Calculo politecnica ejercicios ing. ezequiel a. guamán t.

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

CÁLCULO EN UNA VARIABLE LÍMITES
EJERCICIOS PROPUESTOS

Ing. Ezequiel A. Guamán T. Ing. Hugo Rodríguez Marzo, 2010

CAPÍTULO PRIMERO: LÍMITES En los ejercicios del 1 al 12, se da f(x), a, L, E. a) b) Utilice una figura para determinar > 0: si 0 < x-a < L → f(x)-L < E Confirme analíticamente, empleando propiedades de lasdesigualdades, al encontrado en la parte anterior.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

f(x) = x-1; a = 4; L = 3; E = 0.03 f(x) = 5x – 3; a = 1; L = 2; E = 0,05

f ( x)

4x 2 4x 3 ;a 2x 1

1 :L 2

4; E

0.03

f(x) = x2; a = 3; L = 9; E = 0.5 f(x) = x2 – 2x +1; a = 2; L = 1; E = 0.4 f(x) = 2x2 + 5x + 3: a = -3; L = 6; E = 0.6 f(x) = x + 2; a = 3; L = 5; E = 0.02 f(x) = 4x – 5; a = 2; L= 3; E = 0.001

f ( x)

3x 2

8x 3 ;a x 3

3 : L 10; E

0.05

f(x) = x2; a = 0,5: L = 0.25: E = 0.1 f(x) = x2 + 4x + 4; a = -1: L = 1; E = 0.08 f(x) = 3x2 – 7x + 2; a = 1; L = -2; E = 0.3

Utilizando la definición de Límite de Couchy, demostrar que: 13.

lim(2 3 x )
x 1

1

14.

x2 a2 lim x a x a
lim 2 x 3
x 3

2a

15. 16.

3 6

lim 4 5 x
x 2

17. 18. 19. 20.21. 22. 23. 24.

lim x 2
x 1

4
x 1

3
7

lim x 2
x 2

lim
x 3

1 x 2

1
2

lim x 3
x 7

x2 x 6 lim 2 x 2 x 5x 6 lim
x 2

0 7 3

x2

4x 5 x 1
2

lim
x 1

x 1 x 1

2
5 4
2 3
0

lim
x 2

x 2 3x 1 4 x2
x2 5 3 2 x
x 2 21 5 x 2

25.

lim
x 2

26.

lim
x 2

Calcular los siguientes límites:

27.

lim 3
x 0

1 x 1 x
3

1 x 1 x

428.

lim 3
x 1

x 1 x 1

5

29.

lim 3
x 1
3

x 1 x 1
x 1 x 1

30.

lim
x 1

5

31.

1 x lim x 0 1 x
lim
x a

3

3

1 x 1 x

32.

2x

2 x 2 2a 2 x a

33.

lim
x a

x 2x

a

2 x 2 2a 2
3

34.

x

lim 1 x

x

35.

x

lim ( x 2 2 2 x)
10

36.

lim
x 0

x 1 1 x
2 x 2 2a 2 x a
5x 6 4x 3 x7 2x3
x3 x
3

37.

lim
x a2x

38.

lim
x 0

x7

39. 40.

lim
x 1

x4
1 1
3 5

x2 x
2

3x 2 x 1

lim
x 1

x x

41. 42.

x5 1 lim 4 x 1 x 1
lim
x 1

3 1 x3
2 1 x
5

1 x 1
x2 x2 2
7

43.

lim
x 0

x
x 2 10 x 1

44.

2 x 2 10 x 1 lim x 0 x

m

45.

lim
x 0

1 ax x

n

1 bx

46.

lim
x 4

3 1
x2

5

x

5 x
2x 6 x2 2x 6 x2 4x 3

47

lim
x 348.

lim n n a 1 ; a
n

0

49.

lim
x

( x 1) 2 (3 7 x ) 2 (2 x 1) 4

50.

x

lim

x2

8x 3

x2

4x 3

51.

lim
x

(1 x11 7 x13 ) 3 (1 x 4 )10
3

1 1

52.

lim
x

4 x
5

4

1 5 x

3 x

1

53.

lim
x

x x x x

54. 55. 56.

lim x 2
x

5x 6

x

lim x
x

x2 1
3

x

lim x
x

1 x2

57.

Sea la función real f, definidapor: -x2+1, x < 2 f(x) = 1,x = 2 x-2 , x > 2

a) b) 58.

Calcular los límites laterales cuando x → 2 Existe el lim f ( x ) ?
x 2

Sea la función real f, definida por: 1-x, 1 x < 3 f(x)= x2, x=3 -x2+2x+1, x > 3 Calcular los límites laterales cuando x → 3 Existe el lim f ( x ) ?
x 3

a) b)

59.

Si f(x) =

x2 1 x 1

Hallar: a) lim x b) lim x
1

f x f x
1

1

c) ¿ lim x

fx ?

60.

Si f ( x)

x2 x

a b

si x si x

1 1
lim x
1

Hallar la relación entre a y b tal que

f x

61.

Sea f ( x)

2 x a si x ax b si - 3 b 5 x si x

3 x 3 3

Hallar a y b tal que:
lim f x
-3

x

lim f ( x)
x 3

2x 2
62. Sea f ( x)

a si x x

0 2

ax 3 si 0 3b x x 1 si x

2

Hallar a y b tal que: lim x 0 f x lim x
3

2

f x

63.

lim
x1 3

x 3 6 2 x 9 3 1

2 . x arc. tan
64.

lim
x 0

1 senx 1 cos x

65.

ln(1 e x ) lim x x
x cos x

66.

lim
x 2

sen x
67.

lim
x 3

3 1 2 cos x

68.

Dadas las funciones:

senx x
f(x) = x

2, x

0

,x>0

x-1(e-x-1) , x < 0 g(x) = 4x2(1-cos2x)-1 , x > 0

a) b)

Determinar los límites de f y g, si x tiende a cero Hallar: lim[ f ( x )
x 0

g ( x...