Calculo Series Potenciales

SERIES DE POTENCIAS

Según se verá más adelante, una propiedad fundamental de las funciones analíticas es que pueden representarse por medio de series de potencias.
Y recíprocamente,salvo excepciones triviales, toda serie de potencias convergente define una función analítica.
Por ello las series de potencias son herramienta fundamental en el estudio de las funcionesanalíticas.
Definición

“Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la forma:
[pic] [pic]C ”

Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades de la sumacomo función de z.
Como de [pic] se pasa a la [pic] por un simple cambio de origen, se estudiará exclusivamente esa segunda serie.
[pic]

Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión deltipo
[pic], en donde [pic]
Es decir
[pic]
Por ejemplo
[pic]
en donde todos los [pic] valen 1, o
[pic]
Y todos sus [pic].
Es interesantesaber cuáles son los valores de x ( R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemosx=0, [pic] es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.

Pero para x = 1/2 es[pic]

Que es una serie geométrica de razón [pic] y su suma [pic] con lo que la serie es convergente. Más aún, [pic] es una serie geométrica de razón x y será convergente si [pic], esdecir si [pic],
Siendo [pic].
Si se cumple esta condición:
[pic]
Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamente a una función. En este caso a[pic], pero solo en el intervalo (-1;1).

Gráficamente
[pic]
1





[pic] Sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie




Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se...