Calculo Simbolico Con Matlab

Cap´ıtulo 6
C´
alculo simb´
olico con Matlab
6.1.

Introducci´
on

Los c´alculos en Matlab, por defecto, se realizan en formato num´erico. Si efectuamos, por
ejemplo, operaciones como 1/2 + 1/5 o (π 2 − 1)/(π − 1), nos devuelve los valores aproximados,
en vez de los resultados exactos 7/10 y π + 1, respectivamente.
Por otra parte, hay c´alculos que se realizan habitualmente en Matem´aticas y queno son
posibles con las ´ordenes de Matlab estudiadas hasta el momento. Por ejemplo, al efectuar
(a + b)(a − b) o (2x)dx obtendremos un mensaje de error debido a que las variables a, b, y x
no tienen valores asignados.
Para solventar este tipo de problemas, podemos utilizar la herramienta c´alculo simb´olico
de Matlab. A las expresiones sobre las que se realiza el c´alculo simb´olico se lasdenomina
expresiones simb´olicas y a las constantes y variables que aparecen en ellas constantes y variables
simb´olicas.

6.2.

Construcci´
on de objetos simb´
olicos

Funci´
on
syms
sym
double

Salida
Crea variables simb´olicas.
Convierte a variable simb´olica.
Convierte a variable num´erica.

Para convertir una variable n´
umerica en simb´olica se utiliza el comando sym:
>> a=sym(pi) % Almacena en ala constante simb´
olica pi
a =
pi
>> n=double(a) % Obtiene el valor num´
erico de la variable a y lo almacena en n
n =
3.1416
>> A=[1 1/3;1 sqrt(2)] % A es una matriz de tipo num´
erico
A =
1.0000
0.3333
1.0000
1.4142
47

>> B=sym(A) % B es la expresi´
on simb´
olica de A
B = [ 1,
1/3]
[ 1, sqrt(2)]
Para definir variables simb´olicas que no tengan asignados valores concretos, se utiliza elcomando
syms, un espacio en blanco y a continuaci´on las variables simb´olicas que queramos construir.
Por ejemplo, si escribimos
>> syms x y
creamos las variables simb´olicas x e y, con las que ya podemos operar de forma simb´olica:
>> 2*x^2-y/7
ans =
2*x^2-1/7*y

6.3.

Operaciones con funciones simb´
olicas

Cuando una expresi´on contiene variables simb´olicas, dicha expresi´on tambi´en lo es:>>clear, syms x, f= x^2+2*x+1 % Crea la expresi´
on simb´
olica f
f =
x^2+2*x+1
Tambi´en se pude definir una expresi´on simb´olica sin haber declarado previamente como
simb´olicas las variables que contiene por medio de una cadena de texto, es decir, con los
caracteres que la componen escritos entre comillas simples ’. Por ejemplo:

>> clear, f= ’x^2+2*x+1’ % Crea la expresi´
on simb´
olica f
f =x^2+2*x+1
De este modo, si queremos, por ejemplo, trabajar con las funciones f (x) = x3 + 1
y g(z) = z 2 + 1 podemos hacerlo creando las expresiones simb´olicas correspondientes por
cualquiera de los dos m´etodos:
>> clear
>> syms x,f=x^3+1,g=’z^2+1’
f =
x^3+1
g =
z^2+1
48

Una vez definidas podemos realizar con ellas las operaciones habituales: calcular su valor en un
punto, derivarlas, integrarlas,etc.
Si en una expresi´on simb´olica queremos sustituir una variable por otra o por una constante
para calcular su valor en un punto, utilizamos la orden subs:
subs(f, antiguas, nuevas) Sustituye las variables antiguas por las nuevas. Si hay m´as de
una variable las escribiremos entre llaves y separada por comas.
Por ejemplo, para calcular f (3) y g(1) har´ıamos:
>> subs(f,x,3),subs(g,’z’,1)
ans=
28
ans =
2
N´otese que hemos escrito subs(g,’z’,1), en vez de subs(g,z,1), puesto que, al no estar declarada
z como variable simb´olica, al ejecutar esta u
´ltima orden el programa nos devolver´ıa un mensaje
de error indicando que la variable z no existe.
>> subs(g,z,3)
??? Undefined function or variable ’z’.
Ejemplo 6.3.1 Constr´
uyase f = ax2 + bx + c y sustit´
uyase x por t. Para a=2, b=1,c=0,
obt´engase el valor de f , cuando t=2 y t=[1:4].
Soluci´
on
>> syms x a b c
>> f=a*x^2+b*x+c
f =
a*x^2+b*x+c
>> syms t
>> g=subs(f,x,t) %sustituye en f, x por t
g =
a*t^2+b*t+c
>> h=subs(g,{a,b,c},{2,1,0})
h =
2*t^2+t
>> u=subs(h,t,2)
u =
10
>> v=subs(h,t,[1:4])
v =
3
10
21
36
Para derivar e integrar una expresi´on simb´olica f, disponemos de las instrucciones diff e int,
que act´
uan como se...