Calculo soluciones

INTEGRACION Y DERIVACION NUMERICAS

1.

Aplíquese la regladel trapecio en un sólo intervalo para aproximar el va-

lor de la integral )r{2"

-

1) d-x .

Compárese con el valor exacto.

2.

Aplíquese la regla del trapecio en un sólo interr¿alo para aproximar el va-

lor de la integral J.

,z( I\ - "' *t Jrlx . Comnárese Ir"

con el valor exacto.

Compruébese cómo mejora laestimación al aplicar la regla del trapecio en dos. cinco v diez subintervalos.

3. 4.

Esrímese el valor de la integrat -- -- -..'-o- -trapecio en el intervalo [0, 2]

l" lo .5i + x + 4 r/x aplicando la regla 3.tr. -

del

Divídase el intervalo [0,21r) en doce partes iguales para estimar el valor de la siguiente integral, utilizando la regla del trapecio
12n
JO

1,
2+cosx

I161

3.

Integración y derivación numéricas

5.

Aplíquese la fórmula de integración numérica por interpolación en dos puntos y compruébese que se obtiene la regla del trapecio. Aplíquese la fórmula de integración numérica por interpolación en tres puntos y compruébese que se obtiene la regla de Simpson.

6.

Aplíquese la regla de Simpson para estimar el valor de la integral
¡5

f.x(-r-

4)=

dx y compárese el resultado obtenido con el valor exacto.
integral lu ¿^' dx mediante la regla de Simpson
d{

8.

Estímese el valor de la

en tres subintervalos (esto es, con 7 nodos), tealizando las operaciones con una calculadora científica.
9.

Desarróllese un programa informático para estimar el valor de la integral
J4

I'

e6

e-r"

dx mediante la reglade Simpson en n subintervalos, haciendo

vaiar n desde t hasta 20.
10.

Aplíquese la regla de Simpson en 1, 10, 20,30,..., 100 subintervalos p¿Ira aproximar el valor de la integral

Jo 4x'+1296
Compiárese con el valor exacto. 11.

l"-Lar.

Aplíquese la fórmula de integración numérica por interpolación en cuatro puntos igualmente espaciados para obtener un regla de integración numérica(regla 3/8). Compruébense analíticamente los siguientes resultados, que aparecen en la deducción de la fórmula del error para la regla de Simpson

12.

f" A -roX,x -

r'Xx-

xr) dx = o

162

Enunciados

f. U"- roX¡ - x,)' (x - x')l dx = #
en donde o 1 b y,como es habitual, xo = cl,

xr:T'

x, = b'

13.

AplíqueselaregladeSimpsonenunsolointervaloparaestimarelvalor

dosfórla integral sen x dx. Acote el error cometido mediante las
de

f

acotaciomulas del error para la regla de Simpson. compárense estas dos calculando el valor de la nes con el error exacto, que podemos conocer integral sin aProximaciones.

t4.

la regla del Determínese, mediante la fórmula de acotación del error en estimar por ese proceditrapecio, el número de intervalos necesario paramiento el valor de la integral
11,

18

¡1

¿y

con un error de truncamiento menor que una centesrma'

15.

Determínese, mediante la fórmula de acotación del error en por ese procediSimpson, el número de intervalos necesario para estimar

la regla de

miento el valor de la integral

l"-Ld, ro 4x'+1296
con un error de truncamiento menor que una centesrma'

16.

para estimar elvalor de la integral

I* ,-" dx, se aplica la regla de Simpson

Determíen el intervalo [-3, 3], dividido en cinco subintervalos iguales. nese una cota del error cometido.

163

3.

Integracíón y derivación numéricas

17. LasreglasdeltrapecioydeSimpsonsehandeducidointegrandounpoli-

nomio"interpoladordegradosunoydosrespectivam€nte.Deduciruna ('t) dx, interponueva regla de integraciónnumérica, para aproximar J f
exponencial de la forlando entre los extremos del intervalo una función ma q(x) = Aeo'.
18.

nodos' Deducir la fórmula de cuadratura de Gauss con tres Estímese el valor de la integrul Jt dratura de Gauss con 2 nodos'

19.

e-" dx mediante la fórmula de cua-

20.
21.

Estímese el valor de la integral dratura de Gauss con 3 nodos'

J-t

l-e -" dx...